✨ ベストアンサー ✨
アッという工夫は思いつきません. 式を眺めてじっくりやるのが一番でしょうか?
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y=a-2xを残りの式に代入すると
[式の形を見るとyを消去するのが自然でしょう]
x^2+2x(a-2x)=a-7⇔(2x-1)a=3x^2-7
x^2(a-2x)=-6a+6⇔(x^2+6)a=2x^3+6
ここでx=1/2だと解は存在しないので
[ax=bだが, a=0だとb=0でxは無数に解が存在する]
a=(3x^2-7)/(2x-1)=(2x^3+6)/(x^2+6)
[aについてまとめる. 高次方程式で面倒だが, ここは我慢]
後者の関係式から
(2x^3+6)(2x-1)-(3x^2-7)(x^2+6)=0
⇔x^4-2x^3-11x^2+12x+36=0
⇔(x-3)^2(x+2)^2=0
[因数定理を使う. 36の約数である±2, ±3に目をつける. (x-3)と(x+2)が因数であることが分かる. あとは割り算.]
⇔x=-2, 3
x=-2ならばa=(3x^2-7)/(2x-1)=5/(-5)=-1, y=a-2x=3
x=3ならばa=(3x^2-7)/(2x-1)=20/5=4, y=a-2x=-2
以上から
(x, y, a)=(-2, 3, -1[符号忘れたんですね]), (3, -2, 4)
と求まりました.
工夫して解く方法がありました.
6日前ですから読んでもらえるか分かりませんが, 大事な計算技術なので紹介します.
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方程式をx+x+y=a, x*x+x*y+x*y=a-7, x*x*y=-6a+6と見ます [ここがポイントです].
x, x, yを解とするλについての3次方程式は, 解と係数の関係から
λ^3-aλ^2+(a-7)λ+6a-6=0
と書きます. 6a-6=2*3*(a-1)であることに注意すると
(λ+2)(λ-3)(λ-(a-1))=0⇔λ=-2, 3, a-1 [因数定理を利用して-2と3の解を探す]
を得ます. ここで
x=-2ならばy=3でx=a-1[解はx, x, yだからですね]となるので, a-1=-2⇔a=-1
x=3ならばy=-2, x=a-1となるので, a-1=3⇔a=4
以上から(x, y, a)=(-2, 3, 1), (3, -2, 4)
[訂正]
書きます→書けます
(x, y, a)=(-2, 3, -1), (3, -2, 4) [同じミスしちゃいましたね😓]
解説ありがとうございます。解答の転記ミスすみませんでした。やはり計算はゴリゴリやるしかないのですね...もう一度解き直してみます...。がんばります。