✨ ベストアンサー ✨
こんな感じでしょうか。
x² - (y-a)x - 2y² - y + 1 = {x - f(y)}{x - g(y)}
と因数分解できたと仮定します。 ここで f(y),g(y)はyに関する一次式とします。
x² - (y-a)x - 2y² - y + 1 = 0 を xの2次式と考えると
{x - f(y)}{x - g(y)} = 0 より x=f(y),g(y)。①
また 解の公式より
x = {(y-a)±√(D₁)}/2。 (D₁は判別式と同じ式になる)②
①②は同じ結果となるはずなので、②の√内のD₁は平方数でなければなりません。
※ 平方数でなければ ②は 平方根を含んだ式になってしまいます。
D₁ = (y-a)² - 4(-2y²-y+1) = y² - 2ay + a² + 8y² + 4y - 4 = 9y² - 2(a - 2)y + a² - 4
D₁ が平方数となるので D₁ = (3y - b)² のような形になり、
9y² - 2(a+2)y + a² - 4 = 0は 重解 "y = b/3" を持つことになります。
したがって 9y² - 2(a - 2)y + a² - 4 = 0 の判別式 D₂ = 0 です。
D₂/4 = (a - 2)² - 9(a² - 4) = a² - 4a + 4 - 9a² + 36 = -8a² - 4a + 40 = 0
2a² + a - 10 = (2a + 5)(a - 2) = 0
∴ a = 2, -5/2
分かりました！！
ありがとうございました！