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f(x)=x^2+bx+cは下に凸な放物線です. 放物線と直線の接点は高々1個なので
f(x)はx≦-1にあるg(x)=-1と接点を1個, x>-1にあるg(x)=xと接点を1個持つ, といえます
[まずは図を書いて状況を把握してみましょう. 分からなくてもこういう努力はしてみよう].
最初の条件からt≦-1となる実数tをとってf(x)=(x-t)^2-1と書けることが分かります.
またu>-1となるある点(u, f(u))で微分係数とf(u)が一致する. すなわち
f'(u)=1⇔2(u-t)=1⇔u-t=1/2, f(u)=u⇔(u-t)^2-1=u
が同時に成り立つことが必要十分です.
u-t=1/2を後者へ代入すると(1/2)^2-1=u⇔u=-3/4(>-1)
これを前者へ代入するとt=u-1/2=-5/4(≦-1)となってt, uが定まりました.
したがってf(x)=(x+5/4)^2-1=x^2+(5/2)x+9/16なのでb=5/2, c=9/16と求まりました.
