Question

らんちゃん

新潟大の問題ですが、解ける方いませんか

ビー     |の方形 ABCD を考える。点Pは, 点B, C を除いた辺 BC
直な直線と辺 CD との交点をQとする。

   

 

 

ンゼを動くとする。点Pを通り直線AP

線分 BP の長さを るにさ ,  次の問いに答えよ。

1) 人CPQ の面積 5 を, *を用いて表せ。

(

(2) 面積$の最大値と, そのときのァの値を求めよ。

(3) 議請の生きPD の最小億と ぞのときのァの情をポめょ。  計り
| (9 J

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

としさん

(1)
　△ABP と △CPQ は相似。
　AB:CP = 1:(1-x) なので
　△ABP と △CPQ の面積比は 1²:(1-x)²

　△ABPの面積は x/2 なので S = x(1-x)²/2

(2)
　(1)より S=x(1-x)²/2 ただし 0<x<1

　S=x(1-x)²/2 を微分
　S'=(3x²-4x+1)/2 = (3x-1)(x-1)/2

　より極大値 x=1/3,極小値x=1のとき

　0<x<1 なので x=1/3のとき Sは最大となる。
　S = 1/3*(1-1/3)²/2 = 2/27

(3)
　△ABPは直角三角形なので AP²=1+x²
　△ABP と △CPQ は相似でAP：PQ=1:(1-x) なので
　PQ²=(1-x)²(1+x²)

　△APQも直角三角形なので
　L²=AP²+PQ²=(1+x²)+(1-x)²(1+x²)=(1+x²)(x²-2x+2)

右辺を微分すると
　(1+x²)(2x-2)+2x(x²-2x+2) = 2(2x³-3x²+3x-1) = 2(2x-1)(x²-x+1)

　よって x=1/2のときL²は最小

　L²=(1+1/4)(1/4-1+2)=5/4 * 5/4
∴L=5/4