証明の文字がどういういみかわかりません。

0 D弧度法と扇形 弧度法を用いると, 扇形について,次のことが成り立つ。 link イメージ 扇形の弧の長さと面積 半径,中心角0 (ラジアン)の扇形の弧の長さ、面積Sは ラジアン 5 第4章 三角関数 円周1月 □ハ×12人 。 760°=マス ラン 10 1=360: 190 1=r0, S=1/12r0 または S=1/12 【証明】扇形の弧の長さ,面積は,ともに中心角の大きさに比例する。 1202 から l=2xrx 2π = re S: πr2=0:2π から S=πrex- 2π = 11/120 = 1/1 1r S 8

179の⑵です、かせんひいたとこわかりません

解 179. ベクトルの終点の存在範囲の面積〉 7/3 12 ベクトル 47 △OAB に対し, OP = sOA+tOB, s≧0, t≧0 とする。 また, OAB の面積をSとする。 (1) 1≦stts3 のとき,点Pの存在しうる領域の面積はSの何倍か答えよ。 X (2)1s+2t3のとき、点Pの存在しうる領域の面積はSの何倍か答えよ。 X [12 上智大経] 180. <三角形の内角の二等分線〉 三角形 OAB において, 頂点A, B におけるそれぞれの外角の二等分線の交点をCとす る。OA=a, OB とするとき,次の問いに答えよ。 ま (1)点P (1) 点P ∠AOB の二等分線上にあるとき,OP=t の二等分線上にあるとき,OP=1/+ b となる実数が存在 a b

別解1についてです。 全体的に何をしているのか分からなくて、特に ①なぜ3倍しているのか ②なぜ4倍しているのか ③どうして158から最小公倍数の105を引くと答えになるのか が分かりません。 どなたかお教え頂けますと幸いです。

563 562 基本 137 1次不定方程式の応用問題 3で割ると2余り,5で割ると3余り 7で割ると4余るような自然数nで最小 のものを求めよ。 基本 135 136 5で割ると3余る数のうち, 7でも3でも割り切れる数 は、7・3=5・4+1の両辺を3倍して 3・7・3=3・5・4+3 指針 条件を満たす自然数を小さい順に書き上げると [1] 3で割ると2余る自然数は [2] 5で割ると3余る自然数は 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 3. 8, 13, 18, 23, ······ [3] 7で割ると4余る自然数は 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53. 7で割ると4余る数のうち, 3でも5でも割り切れる数 は, 3・57・2+1の両辺を4倍して 1.3で割ると2余る数のうち,5でも7でも割り切 5-7-3-11+2 れる数は 下線の数を見つけるため に、ここでは1余る数を もとにしているが、直ち 63 としてもよい。そ の次の4・3・560も同様。 [1] [2] に共通な数はであるから、「3で割ると2余り5で割ると3余る」 自然数 [4] 8, 23, 38, 53. 68, 最小数は8で3と5の最小公倍数 15ず つ大きくなる。 は 求める最小の自然数nは, [3] と [4] に共通な数 (口の数) 53 であることがわかる。 このように、書き上げによって考える方法もあるが、条件を満たす数が簡単に見つか らない (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。 そこで、問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみ よう。 4・3・5=4・7・2+4 したがって, 5・7+3・7・3+4・3・5=35+63+60=158は, 3で割ると2余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る 数である。 357の最小公倍数は105であるから, 求める自然数 n=158-105=53 nは 別解2.3で割ると2余り, 5で割ると3余り 7で割ると 合同式を用いた解法。 4余る自然数をn とすると n=2 (mod3) ①, n=3 (mod5) ...... ②, n=4 (mod 7) ①から n=3s+2 (s は整数) ④を② に代入して 3s+2=3 1=6であるから 3s=6 ● ユークリッドの互除法と1次不定方程式 ・・・・・・ ④ すなわち 3s=1 解答 nはx, y, zを整数として,次のように表される。 n=3x+2,n=5y+3, n=7z+4 注意 3x+2=5y+3 から 3x-5y=1...・・・ ① x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから 3(x-2)-5(y-1)=0 3x+2=5y+3 かつ 5y+3=7z+4と して解いてもよいが, 係 数が小さい方が処理しや すい。 法5と3は互いに素であるから s=2 (以上 mod 5) ゆえに,s=5t+2 (t は整数) と表され、 ④に代入すると n=3(5t+2)+2=15t+8 ⑤ 3(x-2)=5(y-1) よって x=5k+2 ···... ② すなわち 3と5は互いに素であるから, kを整数として, x-2=5k と表される。 ② を3x+2=7z+4に代入して このとき y=3k+1 ⑤を③に代入して 15t+84 すなわち 15t-4 14t=0であるから t=-4 (以上 mod 7) ゆえに, t=7k-4(kは整数) と表され, ⑤ に代入すると n=15(7k-4)+8=105k-52 求める最小の自然数nは, k=1を代入して 法と3は互いに素であ るから、両辺を3で割る ことができる。 1545 として、法と 15は互いに素であるか 両辺を15で割って 3とすることもでき る。 n=105・1-52=53 3(5k+2)+2=7z+4 <3x7z=2から ゆえに 7z-15k=4...... ③ 7・(-2)-15・(-1)=1 両辺に4を掛けて 3(x-3)-7(z-1)=0 ゆえに、を整数として x=71+3 7・(-8)-15・(-4)=4 ...... ④4 ③ ④ から 7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(k+4) 7と15は互いに素であるから, lを整数として, z+8=15/ と表される。 これとx=5k+2 を導置 して 5k+2=71+3 よって5k-7l=1 これより、おが求めら れるが, 方程式を解く手 間が1つ増える。 百五減算 ある人の年齢を3, 5, 7でそれぞれ割ったときの余りをα,b,cとし、70g+216+15e 検討 とする。 このnの値から105を繰り返し引き, 105より小さい数が得られたら、その数が その人の年齢である。 これは3, 5, 7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで、 百五減算と呼ばれる。なお、この計算のようすは合同式を用いると、次のように示される。 求める数をxとすると, xa (mod 3), x=b (mod5) c (mod 7)であり, n=70a=1.4αx (mod3), n=15cm1c=cx (mod 7) n=2101.60x(mod5), よって z=157-8 これをn=7z+4 に代入して n=7(151-8)+4=105-52 よって、 nxは3でも5でも7でも割り切れるから,3,5,7の最小公倍数 105で割り切れ る。ゆえに、を整数として, n-x=105kから n-105 このkが105を引く回数である。 求める最小の自然数nは,l=1を代入して n=53 1054-52>0とすると 52 D> 105 練習 3で割ると2余り、5で割ると1余り, 11で割ると5余る自然数のうちで、

159(２)🟩の意味が分からないので教えてほしいです

*159 周囲の長さが 24cmである長方形について、 次の問いに答えよ。 (1)この長方形の面積の最大値を求めよ。 また、このとき, 長方形はどのよう な形か。 (2)この長方形の対角線を1辺とする正方形の面積の最小値を求めよ。

(1)(イ)についてです。 写真のハイライトした部分がどうしてこうなるのか分からないので、教えて頂きたいです。 御回答よろしくお願い致します。

547 演習 例題130 合同式の利用 累乗の数の余り 合同式を利用して、 次のものを求めよ。 0000 (1) (ア) 13100 9で割った余り (2) 472011 の一の位の数 (イ) 20002000 を12で割った余り [(イ) 早稲田大] [(2) 類 自治医大] p.544 基本事項 3 4章 発展 合同式 指針 乗法に関する次の性質を利用する。 a=b (modm),c=d(modm) のとき 3 ac=bd (mod m) 4 自然数nに対しα=b (mod m) (1)累乗の数に関する余りの問題では、余りの周期性に着目することがポイントであ る。また, 合同式を利用して、 指数の底を小さくしてから, 周期性を調べると計算が らくになる。 注意 αのαを指数の底という。 特に, "≡1(mod m) となるnが見つかれば、問題の見通しがかなり良くなる。 (2)ある自然数 N の一の位の数は,Nを10で割ったときの余りに等しい。 したがっ て 10 を法とする剰余系を利用する。 CHART 累乗の数を割った余りの問題 余りの周期性に注目 (1) (ア) 134 (mod9) であり 解答 42=16=7 (mod 9). 43=64≡1(mod 9 ) ゆえに 4100=4•(43)33=4・133=4(mod9) よって 13100=4100≡4 (mod9) したがって 求める余りは 4 13-49 であるから, 13 と4は9を法として合同 であることに着目し、4" に関する余りを調べる。 132 13 を9で割った余 りを調べてもよいが, 般に 42 43の方がらく。 2000 の計算は面倒。 - 2000を12で割った余り は8であるから, 2000 と 8は12を法として合同。 したがって, 8" に関する 余りを調べる。 (イ) 2000=8 (mod12) であり 82=644 (mod 12), 8°=8・4=8 (mod12) 8'≡(82)2=42=4 (mod12) ゆえに, kを自然数とすると よって 82k=4 (mod12) 2000200082000=4(mod12) したがって, 求める余りは 4 (2)477 (mod 10) であり 72=499 (mod 10), <47=10・4+7 7°=9.7≡3(mod 10), 7=92=1 (mod 10 ) ゆえに よって 72011 (74) 502.78=1502.3=1・3=3(mod 10 ) 2011=4・502+3 472011=72011=3 (mod10) したがって, 472011 の一の位の数は 3 合同式を利用して 次のものを求めて

(2)です。αは1の6乗根の一つのためz^6-1の解となるというのが分かりません。

C2-48 (396) 第5章 複素数平面 Think 例題 C2.22 単位円に内接する正多角形 **** 複素数平面上において、原点を中心とする半径 1の円に内接する正六角形の頂点を表す複素数を, が z-1=0の解となるから, 2ドアブルの定理 (2)(1)よりは1の6乗根の1つであり, 1, a, a, a, a, a (397) C2-49 p.C2-38 例題 C2.19 z-1=(z-1)(za)(za)(za)(za)(za) 注> 参照 y4 Q2 a 21 とおける. 21 0 a³ 1x 一方、 3 26 z-1=(z-1)(z+2+2+2+z+1) ......③ -1 0 x 解答 左回りに 21. Z3 Z3.21.25.26 とする. また, a=cosotising とする。 このとき、次の問いに答えよ、 (1) ++++25 +26 の値を求めよ. (2) (1-2) (1-2) (1-0)) (1-0) (1-α)=6であることを証明せよ。 考え方 24 25 26は正六角形の頂点であり、この 6点は、 単位円周上の6等分点である。 つまり、点を原点Oのまわりにだけ回転させると. に移る。同様に、それぞれの点を原点のまわりに だけ回転させると、 21,226 25 25→26にそれぞれ移る (p. C2-38 例題 C2.19注>参照) (1) 点 21, 2,......26 は単位円周上の6等分点である。 また a=cos+isinは,点を原点Oのまわり である.ここで, ② ③より、 (z-1)(za)(za)(za)(za)(za) =(z-1) (z+2+2+2+z+1) であるから, (za)(za)(za)(za)(za) =2+2+2+2+z+1 となる これは,zについての恒等式であるから, z=1 を両 辺に代入すると, (1-α) (1-α) (1-α) (1-α^) (1-α)=6 a a が成り立つ。 Focus 2π 2π a=cos +isin n n とすると,単位円周をn 等分する点は, 1,α, ',, α"-' と表される 第5章 また, にだけ回転させる複素数であるから, となるので, 22=az 23=0z2=221 26=Qzs=Qz1 2+2+2+2+25+26 =2+2+2+2+2+z......① 430 4 z-1=(z-1)(z -α) (z -α^) (za-l) (1-α)(1-α) (1-α) (1-α) (1-α)=6より両辺の絶対値をとると | (1-α) (1-α) (1-α") (1-α")(1-α)|=|1-α||1-α||1-α||1-α'||1-α|=6 と ~10 なる.この式の図形的な意味を考えてみよう. 単位円周を6等分する点をA。 (1), A(α). y4 A2(2), As(a), A(a), A5(α) とすると, この式は,単位円の弦の長さの積 Az(a) A₁(a) での和である. ①は、初項 z1, 公比 αの等比数列の初項から第6項ま ois-Bala 初項 z1, 公比α (αキ1) の等比数 AA1・ADA2A6A3A.AiA.As=6 であることを表している。 As (a³) Ao (1) 0 α≠1 より 列の初項から第 z₁(1-a) 2+2+2+2+25+26= となる. n項までの和は, 1-a 05 air+82(1-α) 1-a このことは,練習 C2-22 の(2)のとおり, 単位円周をn 等分する点についても成り立つ。 つまり 半径1の 円に内接する正角形の1頂点から,他の各頂点に 引いた線分の長さの積はnになる. A(a) As(as) ここで, 練習 α=(cos+isin よって, =cos2m+isin2π =1 +2+2+2+2+26= 0 B200+ 2 (S) 200+1-2 (c) される。 *** Z3, ....... zm とする. また, α=cos stat (0) 複素数平面上において, 原点0を中心とする半径1の円に 02.22 内接する正角形の頂点を表す複素数を,左回りに Z1,Z2. +isin とする. ya. 22 2π 2π n n 0 11x (1)1+2+2+......+z=0 であることを証明せよ。 (2) (1-α) (1-α) (1-α)...... (1-α"-1)=nであることを 証明せよ. 2n B1 B2 C1 (北海道大改) ●p.C2-51 24 C2

270 (1)から(3)について、θの図での表し方がわかりません。数Iの時にやった三角比の値を使えばいいのでしょうか。数Iの三角比の角度と数IIの三角関数の角度がごっちゃになってしまっています。使い分けを教えていただきたいです。（どういう時に使うのか） 解き方もお願いしたい... 続きを読む

問題 270* 0≤02 のとき,次の方程式を解け。 1 (1) sin0=! 14 √2 k 0 一 (3) tan0 + 1 = 0 tanQ=-1 y x=1 D 450 (2) 2cos 0=1 COSO >0200 ($) 教 p.130 例 9, p.131 例 10 2 x { 20 STS <nia *(I) VA 数丘-19

266 (1)〜(3)について、式変形？をする時に2πを使う時と使わない時の違いがわかりません。公式が4種類あると思うんですが、使い分けの仕方もよくわかりません。どなたかこの問題の解き方、考え方について丁寧に解説してくださると幸いです。

266 * 次の三角関数の値を、鋭角の三角関数で表し, その値を求めよ。 7 → (1) sin π 3 tan(-) COS (2) cos(-1/2) π 教 p.128 例 7, p.129 例8

３番でなぜ係数はkなのにDとEはB、Aの内側にあるとわかるのかがわかりません、よろしくお願いします🙇‍♂️

考え方 [Check] ベクトル 例題 358条件を満たす点の動く範囲 (1) *** AOAB に対し, OP = sOA + tOB (s, tは実数) とする. s, tが次の 条件を満たすとき,点Pの動く範囲を求めよ. (1)s+t=1, s≧0, t≧0 (3)st≦1,s≧0, t≧0 (2) 3s+t=2 (1)s=1-tとしてsを消去した式で考える. (2)条件式をs'+t′'= 1 の形に変形し, (1) と同様に考える. S, tに範囲がないことに注意する。 解 (1)s+t=1,s≧0, t≧0 より, s=1-t,0≦t 直交座標と比較して したがって, OP=sOA+tOB=(1) OA+tOB よって、点Pは線分AB上を動く. みよう. B (1) x+y=1, *201 YA 3 t (「図) (2)条件より, st =1 ---- OP=OA+108=228/1/30A+1/2･20B 3 S= s' = 1/12s, t=1/12 とおくとg'+f=1 // (4-4) したがって,直線 OA, OB上にそれぞれ 1=8+0 (2)3x+y=2 B wy. 点A', B' を OA'=20A, OB′=2OB 2 となるようにとると, OP = s'OA'+'O よって, 点Pは右の図の B 021 直線A'B' 上を動く. 3 A M S t (3)s+t=k とおくと,k=0 のとき, //=1 + (3) x+y=1 k k x≥0, y OP=sOA+toB=/ ・kOA+・ROBO t k ( 1=s', //= とおくと, k =t' とおくと, s'+t'=1,s'≧0,0 したがって、OD E= 0 とすると. OP=s'OD+t'OE E より, 線分 DE を表す. 48 よって, 0≦k≦1より、点Pは右の 図のOAB の周上および内部を動く.0 DA k=0 の Focus -1 を作れ

数3積分の体積の問題です。青線の式の部分が解説のグラフでいうどこの部分を指しているのかがよくわからないので解説お願いします。

\4 2/8 4/ ■次の曲線や直線で囲まれた部分を, x軸の周りに1回転させてできる立体の 体積Vを求めよ。 (1) y=2-x2,y=x π *(2) y=sinx, y=sin2x 3 (≦)