四角で囲った部分の解説がわかんないです、教えてください🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️🙏

1 接線の方程式 3% Check 題 179 平均値の定理の利用2 e*-esi 極限値 lim- を求めよ。 (a あCの宝お要 づ中のボ仕お回 エ→0 x-sinr おとする f(6)- f(a)_ え方 平均値の定理 を利用できないかを考える。le) J口 のT 変宅 ここでは、f(x)=e*, a=sinx, b=x とおくと,f(a)=esinx, f(b)=e* e*-esinxf(b)-f(a) x-sinx b-2 となる。 つまり,与えられた式は④の形になる。 このように平均値の定理を利用するには,f(x) をどのような関数とおくか, a, bをど のような値とするかを考えるとよい。 = f'(c), a<c<b b-a となり、 (6)=()t f(x)=e* とおくと, f(x) は実数全体で連続で,微分可能である。 の y4 y=x 大キ0 として,平均値の定理を用いると, sin ex-e したがxーsinxf(c) sinx 10 x x を満たすcが、x>0 のとき, sinx<c<xに、 お ニSint, x<0 のとき,x<c<sinx に存在する。 f(x)=e* より,Sc)=e° Tcは必とS02-のに ア したがって、 x→0のとき, sinx→0 しい 少なくともてつな芸する) sinx sinx<c<x -=e° x-sinx あ 0( )! 0 00 また, x→0 のとき, sinx→0 い -(+ x<c<sinx ちまり, よって, 上の ex-esinx ラグランジ lim x→0 X-sinx 000 111 -=lime'=e°=1 となるため, x>0 と c→0 これより、一般化したもの x<0 をまとめて考えてい by)る. Focus 平均値の定理の利用 (x)\さ あT 0s)-4+ 関数f(x) をどうおくか, a, bをどのような値にするか考える 0とく0 のときでxと sinxの大小関係が変わっているが、

代入式の計算がよくわかんないです、教えてください🙏🙏

376 第6章 微 Check 例題 174 共通接線2 Check 2つの曲線 y=ax° …………D と y=logx ……2 が共有点Aをもち、そ 例題 の点において共通の接線をもっているとき, 定数aの値を求めよ、 2 考え方 右の図のように, 2つの曲線 y=f(x), y=g(x) が共有点をもち, ソ=f(x) 考え方 その点で共通の接線をもつとき, |2つの曲線は接する という。 共有点のx座標をtとおいて, 次のことに着目する. 点を共有している の (F(t)=g(t) 接線の傾きが等しい (F(t)=g'(t)) w 3) ww 接する 解答 y=gは y=ax 解答 f(x)=ax°, g(x)=logx とおくと, F(x)=2ax, g(x)=D 点Aの×座標を1(t>0) とすると, 0, 2が点Aで共 YA x A y=log: 通の接線をもつ条件は, (2-x 0 1t f(t)=g(t), f(t)=g'(t) at?=logt 1 3) 名 したがって、 | 2at= より, af=; 3を代入すると, at-う …の きは。 logt= 1 2 = より, t=ez これをに代入して,-la(ei)?=D 0++8- loga M=p→M=d 2 よって、 _1 aミー 外ニ 2e Focus 2つの曲線 y=f(x), y=g(x) が接する 共有点で共通の接線をもつ → 共有点のx座標をtとすると, f(t)=g(t), f'(t)=g(t)

四角で囲った部分がよくわかんないです教えてください🙏🙏🙇‍♀️🙇‍♀️

362 第5章 微 分法 Check 例 題 167 第n次導関数2) 例 関数 y=sinx の第n次導関数を求めよ。 考え方例題166と同様に実際に第4次導関数ぐらいまで計算してみて、第れ次M する。 解答 ソ=sinx M y' y"=(y')=(cos.x)/==sinx y=(y")%3 (-sinx)'=-cosx y0=(y")=(-cos.x)'=sinx となり,yと yが一致しているので,y®=yとすると, 第n次導関数は, =COSX 4回徴分する。 sinxに戻る。 MMへ 数分 (n=4k) (n=4k+1) (n=4k+2) ーcos.x (n=4k+3) 「と推定できるので, これを数学的帰納法で証明する。 (I) k=0 のとき, ①より,②は成り立つ。 (I) k=p のとき, ②が成り立つと仮定すると, sinx COSX (k=0, 1, 2, …) COS x 2) 微分 -sinx -sinx 微分 k=p+1 のとき, y4(p+1)=(y4p+3)/= (Icosx)'=sinx y(p+)+1)-(y(p+1))Y%3(sinx)' y4(p+1)+2)=(y(«(p+1)+1)/= (cos.x)'=Isinx ya(p+1)+3)-(y(+1)+2)~= (-sinx)'=-cosx となり,k=p+1のときも②は成り立つ。 よって,(I), (I)より, 0以上のすべての整数kに対して② =COS X いの| は成り立つ。 注》例題167 の②は次のように1つの式で表してもよい。 π sin(x+)-cos.x, sin(x+z)=-sinx, アン sia(e+ (+-ia(x+号) 3 +π)=-sin(x+Z)=-coSx. 2 sin x+ 2 sin(x+2z)=sinx ここで、オ=ラ, 2x=号であるから、 2 2T, 2元= -π であるから, ym)=sin(x+)(n%3D0, 1, 2, …) nπ 2 30 144

途中式を含んで解いて教えてください〜😭

5 14.c+1ls7 『Check Box 解答は別冊 p.12 を解け、 3

数列の複利計算です。 ②≧①になる理由を教えてください。

1 等差数列と等比数列 47 Check 題 271 複利計算 年利率5%で100万円を借りて,ちょうど1年後から毎年10万円ずつ 「返すとき,何年後に返し終わるか. ただし,1年ごとの複利で計算し,log1o1.05==0.0212, log1o2=0.3010 とする。 1o og え方 複利計算は,元金をS円, 年利率をr, 毎年の返済額をa円とすると, 元金S円のn年後の金額は, S(1+r)” 0 円23 二方、1年後から毎年a円ずつ積み立てたときのn年後の金額は, ata(1+r)+ +a(1+r)"-2+a(1+r)"-1 .. ② ここで,のS2となるときを考える.(次ページ Column 参照) 100万円を年利率5%でn年借りると,返済の総額は, 100×(1+0.05)"=100×1.05" …) また,毎年の返済額 10万円を,年利率5%で積み立てた ときのn年後の総額は,+1){-(+ ト 10+10×1.05+10×1.05+…+10×1.05"-1 10(1.057-1) 単位は「円」ではなく, 「万円」で計算してい る。 返済額10万円にも年 利率5%を掛けていく。 初項10, 公比1.05の 等比数列の初項から第 =200(1.05"-1) 2 1.05-1 n年後に返し終わるとすると, ②NO となる。 200(1.057-1)M100×1.05" より,1.05"22 両辺の常用対数をとると, ー(110g101.05"2logi02 したがって, logio2=0.3010, log1o1.05=0.0212 より, 0.0212n20.3010 n項までの和 常用対数(p.312参照) log1o1.05" =nlogio1.05 nlogio1.052log102 + 1)o}-"(x+0 (p.312 対数の性質 参照) 金式 (+ 金の 0.3010 n2 0.0212 =14.198… nは自然数 よって、n215 となり, 15年後に返し終わる。

(1)についてです。 自分は2枚目のように解きました。 回答が合わなかったため確認したのですが、自分では何処が間違っているのか分からなかったため質問しました。分かる方教えてください。 赤で書かれた 」までは模範解答と一致していました。 96に赤で斜線が引いてありますが関... 続きを読む

直線 曲線の間の面積 積 243 Check 次の曲線や直線で囲まれた部分の面積を求めよ。 題 1) ソ=2x*+5x-1, y=2x+1(2) ソ=x-3x-2, y= え方 まず, 曲線と直線(曲線)の交点のx座標を求めて, グラフをか- 積分の上端と下端になるので, グラフの上下関係に注意して定標 ソ=2x"+5x-1 .. …D 2 y=2x+1. 0, ②より, x=-2,→ 2 1 グラフより,求める面積Sは, 1 -2 1 1 S= -2 ({(2x+1)-(2x+5x-1)}dx -1 =(-2x-3x+2) dx 2 (x+2)(x-)dx 2 -2 3 125 -2 6 24 1Y4 ニ2

(1)についてです。 何故、丸で囲った部分の-2だけを∫の外に出せるのですか

Check 『 243 直線·曲線の間の面積 「次の曲線や直線で囲まれた部分の面積を求めよ。 Dy=2x+5x-1, y=2x+1 (2) y=x-3x-2, y=ー 方 まず, 曲線と直線(曲線)の交点のx座標を求めて, グラフをかく- 積分の上端と下端になるので, グラフの上下関係に注意して定積元 [y=2x°+5x-1 …D ly=2x+1 2 ① 4/2 無答 (1) 0, 2より, 1 x=-2, 2 1 -2 グラフより, 求める面積Sは、 O/ 1 x -( {(2x+1)-(2x2+5x-1)}dx -2 =|(-2x-3x+2) dx -2 1 (x 2 x- dx -2 2 +2 3 125 -2 ニ 6(2 24 1| YA |2

解説に2行目の『対称性』というのがなにかよくわかりません。

B 第3章 図形と計量 Check メカんの 1辺の長さがaの正四面体OABC で, 辺BC の中点をM として、 2OMA=0 とする. また, 頂点Oから平面ABC に下ろした垂線の足を 例 題 140 正四面体の種々の量 Hとする. 次の値を求めよ. () cosl (2) OH の長さ (4) 正四面体の体積V (3) △ABCの面積S (5) 正四面体の内接球の半径r 『妻ま(O斜G CO回回I(9) 正四面体は左の図のように回転させても同じような このように図形や立体が対称性をもつ場合, その性 考え方」 0 体の状況になる. 0 B を利用して考えるとよい。 A C B V 正四面体の内接球の半径 内接球の中心を Iとすると, OI, AI, BI, CI で, 四面体を4つ の三角錐に分割したとき, それぞれの角錐の高さが内接球の半 径になる。 つまり, 内接球の半径は, 三角形の面積を分割して内接円の半 径を求めたアイデアと同様に,分割してみる。 0 B 正四面体の外接球の半径 外接球とは4点0, A, B, C を通る球で, 対称性を考えれば, 内接球の中心と外接球の中心は一致する。 外接球の半径は OI になることを利用する。 0 I A 警 OM=AM= /3 0. 0 0 また, 対称性より, 点Hは △ABC 2 の重心である。 (1) 点Hは線分 AMを 2:1に内分 するから, △OMH において, 0 T cos 0=HM AM AM H 0 B OM (2) sin0=/1-cos'0 I 重心については 0 p.520 参照 2、2 =0,S00+@,uIS %D △OMH において, OH=OMsin0 V3 2a=AM 利用 ¥3 2/2

(2)の1行目の右辺、 どうして２θ－4分のπ になるのですか θ－ルート2分の1だとおもいました

78 第4章 三角関 Check 次の関数の最大値, 最小値を求めよ.また,そのときの0の値をめょ 考え方 sin も cos も同じ大きさの角(1)は 6, (2)は 20) であるので,与えられたまたを。 三角関数の最大·最小 例 題 152 aieK 1) y=sin@+/3cos 0 (0s0s号) (2) y=sin20ーcos 20 (0s0St) (1) y=sin0+/3cos0=2sin(0+) 0s0sであるから, s0+号5号水 よって、sin(0+号)s1 したがって, yは, sin(o+号)-1 つまり,0+等一番のとき」最大値2 sin だけの式にまとめて考える。 V3 2 解答 3 6 e -1 50 6を 2 m 元のとき,=エ 小 6 sin(9+)-つまり, 0+号言のとき」最小値1 5 元のとき、、最小値1 36 te&プ m 元のとき、0=D π 0-2 (20-号) 手520-年5号円 (2) y=sin20-cos 20=/2 sinl 0ニ 0 0S0S元であるから, 4 4 4 7 4 4ケよって, -1Ssin(20-エ)<1 したがって, yは, (20-4)-1 つまり, 20-4=のとき, 最大値、2 aia V2 =D1 π π このとき, 0= =-1 つまり, 20-年ニラ 3 く le 0まc 8 20-2 4 π sin(20 4 -π のとき, 20=2 最小値 -/2 このとき,一0=n 点-小 大のく20- .おり大ち) |20= ミー 19-S/I N

(2)の1行目で、なぜ0<・・・の条件が出てくるのか教えてください。はさみうちを使うことを見越していい感じの条件見つけてきたって感じですか？

例 題 100 はさみうちの原理3 のさであ 次の極限値を求めよ、の大景き タェ x] X imn2 2k-1)(2k+1)) 226 第3章 数列の極限 Check 例題1 (東京理料) a=1+ 1 (2) lim(n 2れ n→ 0 k=n R 1/1 (2) li え方 (1 ーD24+)-(2-1- 24+1) と部分分数に分解する。 (2) k21 のとき, 0<(4R-1)<だくだ+k であるから、, 1 考え方 (1) 4 考え方(1) くより、K(R+1)<声く(2k-1)(2k+1) が導かれる +k 4°-1 2 1」 2n 三-1)2k+1)=(2ォ-1 2k+1) |2k-1 解答(1) k=n (1 1| 4n-1 4n+1 解答 2n-1 2n+ 1/"(2n+1 2n+3, 1/1 2n-1 よって、 1 4n+1 J 2n n 2k-1)(2k+1)) n = lim カー 2(2n-1 4n+1/ lim → 0 k=n エ - = im 1 1/1 1 2 n 4+ n (2) k21より、0<ー(4R°-1)<だくだ+k が成り立つから、 1 4 *+k 4-1,つまり, n2 。R)くくー <n意く --点 k(R+1) (2k-1)(2k+! 2n よって、 1 2n …0 k=n (2k-1)(2k+1) 21 1 k=n ここで、 2n lim{n =lim{n 1 1→ k=n k+1 n 1 →0 n n+1 2n+! n+2 2n =lim n → 0 n 2n+1 また。-e 2n 、n 2 (1の結果を用いると、lim nこ 2k-1)(2k+1) 4 (2k-1)(2k+1)-4:n2 =(2々-1)(2k+1) より, 1 よって、①, ②, ③とはさみうちの原理より, 4. 8 k=n 2 102 練習 次の極限値を求めよ lim(n k=n n→0 100 22 3