数3極限 回答では場合分けが3個になっているのですが|r|>1のときをr<-1の時と1<rのときの２つに分けて、合計4つの場合分けにしたらバツになりますか？

1. 基本例題 91 {r}の極限(rの値で場合分け) OOOO0 アキー1 のとき,極限 lim rn-1 を求めよ。 ym+1 n→o |b.141 基本事項5, 基本 89 CHART lOLUTION pを含む数列の極限 p"の極限は,rの値により異なるから場合分けして考える。 {}が収束する,すなわち, |r{<1や r=1 のときは, 与式のまま極限を考える ことができる。 r=±1 が場合の分かれ目 … Ir>1 のとき,{ア}は収束しないが, 一<1 から(- Gが収束することを利用 する。基本例題 89 と同様に,分母 分子をr”で割ってから極限を考える。 解答) inf. r=-1 のとき,nが 奇数ならば ァ"=-1 であ るから,(分母)=0 となり r<1 のとき lim r"=0 n→0 よって r"-1_0-1 lim =-1 - ニ- ニー n 0+1 アー1 島が定義されない。 r+1 n→o r"+1 4章 r=1 のとき pn-1_1-1 lim -=0 1+1 y"=1 よって r"+1 n→ 0 10 意。 Ir|>1 のとき く1 =0 ゆえに lim r n→ 0 n yn-1 lim 1- r 1-0 分母·分子をで割る。 よって =lim =1 1+0 n ; rn+1 n→o n→ 0 1+ 数列の極限

問3はどのように考えればいいかわかりません。 教えていただきたいです。よろしくお願いします。

f(z) →3を満たすもの 問 3.関数 f(x),9(z) で、c→2のとき f(x) → 0, g(x) → 0, 9(x) の具体例を一つあげよ。 また、その具体例が与えられた条件を全て満たしていることを確 かめよ。 f(x) +3を満たす本 日日 ス のしと alol AA

2≦n+1が分かりません。 nは自然数よりn>0 互除法は整数しか用いることができないのでn+1も整数 整数n+1で最も小さい数はn=1で2の時 よって2≦n+1ってことですか？

(1) 2つの整数 m, n の最大公約数と 3m+4n, 2m+3n の最大公約数は一覧 基本 例題 126 互除法の応用間題 本事項 以下では, a, ん 11次不定 の000。 ることを示せ。 (2) 7n+4と 8n+5が互いに素になるような 100 以下の自然数 nは全部で、 つあるか。 x,yの」 という。 1次不定 2つの費 指針> 最大公約数が関係した間題では、A.501 基本事項 AP.01 基本事項 (*)で示した、右の定理を利用して、 数を小さくし ていくと考えやすい。 本間のように、整式が出てくるときは、 まず, 2つの 式の関係を a=bq+rの形に表す。 ) 次に、式の係数や次数を下げる要領で変形していくとよい。 faとbの最大公的 す整数 a=bq+r 解は、 等しい bとrの最大公的間 2) Ta4と&n+5 b互いに煮→熱公約数が12tなればさい |解答 解 く1次不 方程式 2数A, Bの最大公約数を、(A, B)で表す。 (1) u+ 2m+3»F0EM+n 2m+5n=(m+n)-2+n, m+n=n·1+ よって ら、 4差をとって考えてもよい。 3m+4n-(2m+3n)=m+n 2m+3n-(m+n)=m+2n (3m+4n, 2mn+3n)= (2m+3n, "m+n)とはしぜい m+2nー(m+n)=n 解が Dに なぜ 左辺 がけない。 でい =(m+n, n)=(n, m) m+n-n=m したがって、m, nの最大公約数と 3m+4n, 2m+3n の最 大公約数は一致する。 X。 方 3m+4n=a 別解 m=3a-46 のとおくと mとnの最大公約数をd, aとbの最大公約数をeとする。 のより,aとbはdで割り切れるから, dはaとbの公約数 2m+3n=b n=36-2a 4m=dm'、n=dn"'、 a=ea', b=ebとする である。ゆえに dse………… 3 同様に,2より, eは mとnの公約数で d(3m'+4n')=a のは d(2m'+3n')=b e(3a'-46)=m e(36'-2a')=n eSd…… 4) 3, ④ から d=e よって,最大公約数は一致する。 (2) 8n+5=(7n+4)·1+n+1, 7n+4=(n+1).7-3 のは 1/は自然数 ゆえに (8n+5, 7n+4)= (7n+4, n+1)= (n+1, 3) n>0 17n+4と 8n+5は互いに素であるとき, n+1 と3も互いに 素であるから,n+1と3が互いに素であるようなnの個数 4a=bq-rのときも (a, b)=(b, r) が成り立つ。p.501 の解説 と同じ要領で証明できる。 ntlけ AurL2n+1s101 0範囲に, 3の傍数は33個あるから, 求める 100-33=67(個) nは(o0K下 自然数は y lol-2tLoo (00-:33 toC

なぜf(x)は、(x-1)で割り切れるといえるのか解説を読んでもよくわかりません🙇‍♀️ また、なぜf(x)＝x³−ax+a-1といえるのか教えていただきたいです。

(1) f(x)=x°-ax+b が(x-1)で割り切れるとき, 定数a, bの値を求 OOO00 重要例題 58 剰余の定理の利用(3) めよ。 【学習院大) 基本 54 を求めよ。 C HART lOLUTION 割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用 次数に注目 2 余りには剰余の定理」 (1)(x-1)? で割り切れる → f(x)3 (x-1)Q →(x) がx-1で割り切れ, 更にその商がx-1で割り切れる。 1) (2) 次の恒等式を利用する。ただし, nは自然数とし, α'=1, 6°=1 である。 1 解答 (1)F(x)は xー1 で割り切れるから f(1)=0 a-1 1 -a+1 10 ーa よって 1-a+b=0 S ゆえに b=a-1 0 1 したがって f(x)=x°-ax+a-1 11-a+1 0 =(x-1)(x°+x+1-a) g(1)=0 g(x)=x°+x+1-a とすると ゆえに *条件から, g(x) もx-1 で割り切れる。 よって 3-a=0 a=3 これをOに代入して b=2

この問題って△ABC ∽△CBDだとバツになりますか？ ∽は相似記号のことです見づらかったらすみません🙇‍♂️

165 重要例題107 特別な角の三角比 OOOO0 頂角Aが 36° の二等辺三角形 ABCがある。この三角形の底角Cの二等分線 と辺 AB との交点をDとする。 (1) BC=1 のとき, 線分 DB, ACの長さを求めよ。 (2) (1)の結果を用いて, cos36°の値を求めよ。 【類神戸学院大] 基本 103 HART OLUTION loLur (1) 図をかいて角の大きさを調べると, △ABCSACDB (2角が等しい)がわか る。DB=x とおき, 相似な三角形の辺の比を利用 して方程式を作る。 (2) 三角比であるから, 36° の内角をもつ直角三角形を作る。 解答 (1) ZACB=(180°-36°)-2=72° であるから ZDCB=72°-2=36° 00mm() me (+ a AABC とへCDB において 4章 ZBAC=ZDCB=36°, ZACB= ZCBD=72° 2角が等しい。e 4 よって AABCのACDB

線を引いたところの式になんでなったのか教えて欲しいです。

平面上の△ABC は BA·CA=0 を満たしている。この平面上の点Pが条 重要例題 AA ベクトルと軌跡 件 AF-BF+BF.CF+CF·AF=0 を満たすとき, Pはどのような図形トの 点であるか。 [岡山理科大) 基本 41 CHART lOLUTION AABCの問題 Aを始点とする位置ベクトルで表す 条件式の中の各ベクトルを, Aを始点として, ベクトルの差に分割して整理する。 ベクトル方程式に帰着できないかと考える。 解答 BA-CA=0 から, △ABC は ZA=90° の直角三角形である。← AB=6, AC=c, AP=DD とすると, 条件の等式から か(カ-6)+(カ-6)(万-)+(カ-)·カー0 あこ=0 1万-る万+万P-さ·p-す方+万Pーで·カ=0 3|万P-2(5+c)カ==0 万P-(6+)カ=0 BALCA *Aを始点とする位置べ クトルで表す。 BA·CA=0 から AB-AC=0 よって 整理すると 2。 ゆえに よって-+-件はリー信はゃて) ゆえに 5ー号あゃる=2. YO-A01 2次式の平方完成と同 様に変形する。 2 |2 2 1 3 6+c 3 の

44(1)について この解答はあっていますでしょうか？ 添削お願いします🤲

SUP PLY 88597- PE-M381-1/ITEM DOOO ) a, bは有理数とする。a+b/T =0 のとき, Vl が無理数であることを 用いて,6=0 であることを証明せよ。 (2)(1+/2)x+(-2+3/2)y=10 を満たす有理数x, yの値を求めよ。 9L 基本。 lOLUTION CHART (1) 直接がだめなら間接で 背理法 6キ0 と仮定して矛盾を導く。 (2)/2 について整理して,(1)の結果を利用する。このとき, 前提条件 「x, yは有理数, /2 は無理数」を書くことを忘れないよう注意。 解答 の(1) 6キ0 と仮定すると =1- 9 D 94 0= 1/9+D a, bは有理数であるから,右辺の-- 0 は有理数である。 Dー= = 1^9 左辺の、7 は無理数であるから,これは矛盾している。 2(0キ)9 VEE (2) 与式を変形して -=1 さす乗さ 2Cf 0=9 33 (x-2y-10)+(x+3y)/2=0 R 0… *この断りは重要。 x, yは有理数であるから, x-2y-10, x+3y は有理数であ り,(2 は無理数である。 ゆえに,(1)の結果から 2をOに代入して 2, ③ を解いて inf. 上の例題(1)において, b=0 を a+b\l =0 に代入すると a+0/I =0 から a=0 よって, a+b、T =0 のとき a=b=0 が成り立つ なお,「a, bは有理数」 という記述がないと, a+b、2 =0 を満たすa, bは E だけではなく, a=2(無理数), b=-1 なども適してしまう。 */2 について整理 詳しくは右ペー x+3y=0 の 0=0I-7-x x=6, y=-2 や心 *(x-2y-10)+0- から x-2y-I MOTAMSC INIO

(3)についてθに制限がない時、nπで2/3π+nπのみのひとつになる理由がピンと来ません。解説お願いします

0S0<2x のとき, 次の方程式を解け。 また, 0の範囲に制限がないときの解を求め 0S0<2 のとき, 次の方程式を解け。 また, 0の範囲に制限がないときの 187 本例題12| 三角方程式の解法 解を求めよ。 1 基本項 (1) sin0=- 2 1 (2) cos0=l 1_2時 (3) tan0=-3 ID.183 基本事項3 lOLUTION CHART 三角方程式 単位円を利用 右の図のように,角0の動径と単位円の交点を P(x, y), 直線OP と直線 x=1 の交点を T(1, m)とすると y=sin0, Q'6,0 x,y) メPla.b =Cos0, m=tan0 (1) 直線 y= 1 (2) 直線 x=ー 2 と単位円の交点 2 (3) 点T(1, -V3 )をとり, 直線OT と単位円の交点 これらをP, Qとすると, 求めるθは動径 OP, OQの表す角である。 4章 解答 参照)。 16 『求める0は,下のそれぞれの図において, 動径 OP, OQ の表す角である。 0S0<2元 における解は 5 -π 6 (2) @=3n 4 5 (1) 0= (3) 0=- 5 π 1 6 2 P 1P Q P 2 -1 0 Mo -1 1 6 -1 3 DS 37 Q Q -1 -1 T また, 0の範囲に制限がないときの解は, nを整数として リ=6+2nt, +2nπ (2) 0==元+2nx, 号ェ+2nx inf」 (2) の解はまとめて 3 ine +2n: 0=± ) 0-34 ind nπ としてもよい。 PRACTICE … 121° よ。 a) ton A= 三角関数のグラフと応用 ミー 8

黄色でマーカー引いているところが 理解できません。わかる方教えていただきたいです。 よろしくお願いします🙇‍♀️

ゆえに,変量xのデータの分散は, x=7u+830 から 次の変量xのデータについて, 以下の問いに答えよ。 147 変量の変換 重要例題 2- 844, 893, 872, 844, 830, 865 (単位は点) い=x-830 とおくことにより, 変量uのデータの平均値 u を求め,こ れを利用して変量xのデータの平均値xを求めよ。 x-830 開関群 とおくことにより,変量xのデータの分散と標準偏差を求 (2) ひ= 7 めよ。 p.217 基本事項3,p.226 補足 CHART lOLUTION (無) 式謝る 五 x=u+830 古 全 (1) u=x-830 より x=u+830 であるから (2) x, ひのデータの分散をそれぞれ Sx, Su とすると, x=7v+830 であるから S=7°s である。よって, まずは s?を求める。 tiは図市 ちさる 間の最 S (解答) 1)変量xと変量uのデータの各値を表にすると, 次のように inf. (1) のようにxから一 定数を引くと計算が簡単に なる。 なる。 844 | 893 | 872 844 830 865 計 x u 14 63 42 14 0 35 168 一般には,この一定数を平 均値に近いと思われる値に とるとよく,この値を仮平 均という。会共 ① よって,変量uのデータの平均値は 168 -=28(点) 6 u= ゆえに,変量xのデータの平均値は, x=u+830から x=u+830=28+830=858(点) x=u+6 のとき x=u+b (2) 変量x, v, v?のデータの各値を表にすると, 次のようにな る。 844| 893 | 872| 844| 830| 865 計 x 2 9 6 2 0 5 24 v2 4 81 36 0 25 | 150 よって,変量»のデータの分散は -(平円の) T 150 =9 S°=u°ー()= 6 2 x=au+b のとき x=au+b S=a's,? S=lalsu 標準偏差は 時姫さ負玉関 Sx=7.Su=7/9 =21 (点)

回答の一行目、展開して考えないと導けないですか？

aキ0, nを自然数とするとき, 次の公式が成り立つ (下の inf. 参照)。 Cは積分定数)を用いて, 不定積分 (x-1)(x+1)dx を求めよ。 例題 201 を自然数とする。公式 )(ax+b)”dx=1.[ax+b)*+1 正傾かの 303 a n+1 を用いて,不定積分 x-1)(x+1)dx を求めよ。 |基本 199 lOLUTION TEART © (ax+b)" の不定積分 る 関 15 n (ax+6)"dx=LLax+6)*+1 (xーa)"(x-B)=(x-α)"((x-a)+a-B} -+C (Cは積分定数) a n+1 % =(x-α)"*"+(α-B)(x-α)" を利用して (x-1)(x+1)=(x-1){(x-1)+2}=(x-1)+2(x-1)" と変形すると,(ax+b)" の不定積分の公式が使える。 解答 0=b(x -1(x+1)dx=}(x-)(x-1)+2}dx inf.(x-1)(x+1) =x°-x-x+1 と展開し て積分すると x* x-X+x+C -(x-1)+2(x-1)}dx=\(x-1)}dx+2}\(x-1}°dx ブ 大のッ (x-1) 4 (x-1) -3 +C 4 3 三 左の答えの式を展開すると x*x°x 432 5 +C +x 12 1 (x-1){3(x-1)+2·4}+C 4-3 三 飛関二 答えが異なるように感じら れるが,Cは「任意の」定 ー()1/ 関一数なので、どちらも正解。 1 (x-1)(3.x+5)+C (Cは積分定数) 三 12 ()315( b INFORMATION (1OGG)において