286
28 を満たすがは有理数でないことを示せ。
(2) 2'3-2=3"2-6 を満たす有理数x, yを求めよ。
例題 175 指数方程式の有理数解
「類福島大)
や例題170
背理法
指針(1) 有理理数でないことの証明は
CHART 「でない」の証明
有理数であると仮定して矛盾を導く。
(2) 方程式1つに変数がx, yの2つ。有理数という条件で解くから,(1)が利用できそう。
また、rが有理数とは m(m, nは整数,nキ0) と表されること。
n
底が2,3であるから, 2"=3 [(1)] の形にならないことを用いる。
答案(1) 2"=3 を満たす有理数rが存在すると仮定する。
( 233>1 であるから、r>0 である。
背理法:事柄が成り立
たないと仮定して盾
を導き,それによって
事柄が成り立つとする
証明法(数学I)
m
よって, r=
n
(m, n は正の整数)と表され
m
2ォ=3
19
両辺をn乗して
2"=3"
の
のの左辺は2の倍数であるが,右辺は2の倍数ではないか(2と3は互いに素。
ら,矛盾。
ゆえに,2"=3 を満たすrは有理数ではない。
(2) 等式から
x+2yキ0 と仮定すると,② から
イすなわちrは無理数。
|等式の両辺に
2-0-6)32 を掛ける。
2*ーソ+6=3*+2y
、x-y+6
2x+2y =3
(1)で2"=3 を満たす
rは有理数でないこと
を証明した。
(3
x, yが有理数のとき, x-y+6, x+2y はともに有理数で
x-y+6
x+2y
も有理数となり,(1)により ③ は成り立たない。
よって
x+2y=0
2*ーソ+6-1
このとき,2から
ゆえに
イx+2yキ0 と仮定する
と矛盾を生じたから,
x+2y=0 である。
x-y+6=0
の, 6 を解いて
x=-4, y=2
909
東習|| 175 (1) 3*=5 を満たすxは有理数でないことを示せ
A|(2) 20*=10ツ+1 を述
