ここってなくてもいいですか？ 上で「左辺は」っていう言葉をけしたら

例題 数学的帰納法を用いて, 次の等式を証明せよ。 13 1+2+3+....+n= =1/12m(n+1) 証明 この等式を (A) とする。 [1] n=1のとき 左辺 = 1, 右辺 = 1/12・1・(1+1)=1学 •1•(1+1)=1 2 よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。 [2] n=k のとき (A) が成り立つ, すなわち 1- 1+2+3+......+ k = 1 ½ k (k+1) が成り立つと仮定すると, n=k+1のときの(A) の左辺は 1+2+3+…+k+(k+1)=1/12k(k+1)+(k+1) =1/21 (k+1)(k+2) n=k+1 のときの (A) の右辺は 1 1/12 (k+1){(k+1)+1}=1/12(k+1)(k+2) J よって, n=k+1 のときも (A) が成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて (A) が成り立つ。 終 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 )1+3+5+.

ㆍ数学Ｂの数列の問題です。問題文は画像を参照。 ㆍ？ᆢこの問題の解説文のところのなぜ、条件でｋが２以上になるかがわかりません。あと、いままでｎ＝１のときだけでよかったのに、この問題ではなぜｎ＝２も確認しないといけないのかがわかりません。いままでの問題の例は画像の３枚目にあ... 続きを読む

| B | △ 87*n を自然数とするとき, 数学的帰納法を用いて,次の等式や不等式を証明せよ。 1 2 3 (1) + + +･･･ + 2! 3! 4! (2)2"+1 > n(n+1) +1 n 1 = 1 (n+1)! (n+1)!

(2)の問題で、解答を見たところ a k+1＝1/3-2a k と何故言えるのか分かりません ご教授よろしくお願い致します🙇

*167 数列{az}が, a1= 1/31 an+1= 1_ 3-2an (n=1, 2, 3, ...) で定められ ているとき,次の問いに答えよ。 [12 宮崎大 ] (1) 2, 3, 4 の値を求めよ。 (2) 一般項am を予想し, それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。 +++ 数学的帰納法 ② 数学的帰納法を用いて一般項を求める。 ポイント (2), az, as, as 'の値から αn を推測して, それが正しいことを数学的帰納

(2)でn≧2^m と勝手に決めていいいのですか？

重要 例題 45 無限級数Σ1/nが発散することの証明 0000 (1) すべての自然数nに対して, 2 1 k=1k 2 n M +1が成り立つことを証明せよ。 (2)無限級数1+ 1 1 + 2 1 ++ +...... 3 は発散することを証明せよ。 n 基本 34 重要 44 (1)数学的帰納法によって証明する。 (2) 数列{1} は0に収束するから、か.63 基本例題 34のように,p.61 基本事項図② を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。 2"/1/11 ここで,n→∞となる。 1) 解答 2章 k=1 k 2 n +1 ① とする。 1/8=1+1/2=1/3+1 [1] n=1のとき k=1k よって, ① は成り立つ。 [2]=m(mは自然数)のとき,① が成り立つと仮定すると11+1 このとき 2m+1 2m 2m+1 1 +-+ = k=1k k=1 k 1 + k=2" +1 k (+1) +2 +1 +2 +2 2m+1 2m+2 2m k=1 k 2 4 ④無限級数 +......+ 2m+1 =1+1+ + 1 1 .+......+ 2m+1 2m+2 >m+1+gans2mm/+1+1 2m+2m 12m+1=2m2=2"+2m 1 2+2+2 (2) 1 2m+k よって, n=m+1のときにも①は成り立つ。(k=1,2, 2m-1) [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 (2) S=1/2" とすると,(1)から 2m Snm 1 +1 k=1 k 2 ここで,m→∞のときn→∞ で lim m(2+1)=x -1=8 limSn=∞ →∞ n→∞ 00 したがっては発散する。 an≦bn liman=∞⇒limbn=∞ (p.343②) n=1 n 72100 1210 0=0nalexmil 無限級数1/nの収束・発散について 8 数列{a} が 0 に収束しなければ, 無限級数 2αは発散するが (p.61 基本事項 2②),こ n=1 =0であることから,このことが確認できる。 n 11は1のとき収束, p≦1のとき発散することが知られている。 検討 の逆は成立しない。 上の (2) において lim 00 練習 @ 45 上の例題の結果を用いて,無限級数方 は発散することを示せ。 p.81 EX 32

88(1) 平均値の定理について 答えを見たら理解できた(おそらく) 解答170ページの4行目までは平均値の定理のシナリオなので理解できました。 ただ、1<x<=2とする発想がなく 自分はxなどを用いず1、2を平均値の式に代入しました (Xが出てこないため何も意味を持たない... 続きを読む

1+c したがって, ①が成り立つ。 1+c よって (1+0 1+αa-b <e EX ex 関数f(x)=log- を用いて, α = 2, an+1=f(an) によって数列{az}が与えられている。 ただし, ④88 x 対数は自然対数である。 [大分大] (1)1≦x≦2のとき,f(x)-11/12 (x-1)が成立することを示せ。 (2) liman を求めよ。 ] n→∞ (3) b=a, bn+1=an+1bnによって与えられる数列{bn} について, limb を求めよ。 ex (1) f(x)=log =x-logxはx>0で微分可能で x f'(x)=1- 81U B ←log =logB-logA D-S)mil A を利用して差の形に。 x

青線のところについて、-2(n+1)+1にする必要が何なのかと、これがなぜ、Ａが成り立つ理由に繋がるのかが分からないので教えてほしいです🙇‍♀️

138 第1章 数列 例題一般項の推測と数学的帰納法 23 a=-1, an+1=an²+2nan-2 で定められる数列{az} について (1) az, A3, a を求めよ。 (2)第n項an を推測して, それを数学的帰納法を用いて証明せよ。 解答 (1) a2=a2+2・1・α-2=(-1)2+2・1・(-1)-2=-3 a3=az+2・2・az-2=(-3)2+2・2・(-3)-2=-5 a4=a32+2・3・a3-2=(-5)2+2・3・(-5)-2=-7 圏 (2) (1) から, an=-2n+1.………… (A)と推測できる。 ← A1, A2, A3, 4 は 公差 -2の等差数列。 初項は α=-1 であるから, n=1のとき(A)が成り立つ。 [1] n=1のとき (A) の右辺は-2・1+1=-1 [2] n=k のとき (A)が成り立つと仮定すると ak=-2k+1 n=k+1のとき ak+1=ak²+2kak-2=(-2k+1)^+2k(−2k+1)-2 =-2k-1=-2(k+1)+1 よって, n=k+1 のときも (A) が成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて (A) が成り立つ。 終

数学的帰納法の、n=1が成り立つことを証明するときに、与えられた式の右辺と左辺のどこを比べればいいですか？全部n=1を当てはめる必要は無さそうなのですが、どこに当てはめたらいいか分からないので教えてほしいです🙇‍♀️

この問題のn＝k＋1のときの（A）の左辺のときの計算があまり理解できません。 途中計算教えてください🙇‍♀️

は自然数とする。 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 (n+1)(n+2)(n+3)……(2n)=2"•1・3・5(2n-1)

どのような基準で、こっちのパターンの帰納法を使うと判断すれば良いでしょうか？

注意 504 重要 例 60 n=k, k+1の仮定 解答 000 は自然数とする。 2数x, yの和と積が整数ならば,x”+y" は整数であるこん を証明せよ。 指針 自然数の問題であるから、数学的帰納法で証明する。 x+yx+y* で表そうと考えると *****y***=(x*+y*)(x+y)-xy(x*-1+y*-1) よって、「x*+y* は整数」に加え、「x+y-1 は整数」という仮定も必要。 そこで、次の [1], [2] を示す数学的帰納法を利用する。 下の検討も参照。 [1] n=1,2のとき成り立つ。 初めに示すことが2つ必要。 きも成り立つ。 [2] n=k, k+1のとき成り立つと仮定すると, n=k+2のときも成 CHART 数学的帰納法 [1] n=1のとき 仮定にn=k, k+1などの場合がある。 出発点も、それに応じてn=1, 2を証明 x'+y'=x+yで 整数である。 n=2のとき x2+y2=(x+y) 2-2xy で, 整数である。 |n=1,2のときの 整数の和差積は整 [2] n=k, k+1のとき, x”+y” が整数である, すなわち, n=k, h+1の仮定。 x+yxyk+1はともに整数であると仮定する。 n=k+2のときを考えると x+2+y+2 = (x+1+y+1)(x + y) −xy(x+y) x+y, xy は整数であるから, 仮定により, xk+2+yk+2 も整数である。 よって, n=k+2のときにも x "+y” は整数である。 [1], [2] から, すべての自然数nについて,x"+y” は整数で ある。 =2のときの 整数の和差積は整 重要 [2]の仮定でn=k-1,k とすると,k-121の条件からk2としなければならない 上の解答で n=k, k+1としたのは, それを避けるためである。 数列{am) が成り立 指針 検討 n=kk+1のときを仮定する数学的帰納法 自然数nに関する命題P(n) について 指針の [1], [2] が示されたとすると、 P(1) P(2) が成り立つから, ([2]により) P(3) が成り立つ →P(2),P(3) が成り立つから,P(4) が成り立つ→...... これを繰り返すことにより, すべての自然数nについて P(n) が成り立つことがわか 練習 α=1+√2,β=1-√2 に対して, Pn=a+β" とする。 このとき,P,およ ② 60 値を求めよ。 また, すべての自然数nに対して,Pは4の倍数ではない ることを証明せよ。 [

？つけたとこが分からないです

(2)・不等式の証明 *** nが2以上の自然数のとき, 1+ 1 1 1 + 十 ・+ 22 32 2 <2- が成り n n 「ことを数学的帰納法で証明せよ。 考え方 2以上の自然数について成り立つことを示すので、次のことを証明すればよい (I) n=2のとき,不等式が成り立つことを示す. (2)のとき、不等式が成り立つと仮定し、これを用いて,nk きも成り立つことを示す. 1 1 1 解答 1+ 22 + + + 32 <2- n •••••• ① とおく n (I) n=2のとき, 15 224' (右辺)=2- 1_3 = 2 2 (左辺)=1+2= より, (左辺) く (右辺) となり, n=2のとき ①は成り立つ。 (Ⅱ)n=k(k≧2) のとき, ① が成り立つと仮定すると, 以上 1 1 1 1+六十 +: + 1 <2- ...... 22 32 ..(*) k² =k+1 のとき, 1 10 1 1 1 1+ ・+ + + + <2- 何を示すか 22 32 k² が成り立つことを示す. (右辺) - (左辺) (k+1)2 + k+1 る. (右辺) ( 1 1 1 1 + を示せばよ =2-- k+1 1+ + + 2232 ・+・ + k² (k+1)²+ (*) の仮定 2 1 不等 >2- 2. + k+1 k (k+1)21 (Iに注意する 1 くな >0 k(k+1) したがって, (右辺) (左辺)>0 となり, n=k+1 の ときも①は成り立つ. AIS->-A んは2以上 (I) (II)より、2以上のすべての自然数nについて ①は成りだからk( よって, 立つ. k Focus