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例題 17 漸化式と極限 (3)
(
a1=1, an+1=√2an+3 (n=1, 2, 3 ......)
で定義される数列{a}について,次の問いに答えよ.
(1) 数列 {a} が極限値αをもつとき, αの値を求めよ.
(2) (1)のαについて, la,+i-als/la-al を示せ.
無限数列 47
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第1章
(3)
lima=α であることを示せ.
11-0
考え方 (1) lima= α のとき, lima,+1=α であるから,
ya y=x/
→00
これを与えられた漸化式に代入して考える.
y=√2x+3
求めたαが条件に合うか確認が必要
(2)(1) で求めたα を代入し, 漸化式を用いて不等式の
左辺を変形する。
10
a2a3
TI BM
(3) 実際にlima を求める はさみうちの原理を利用する.
(=1
解答
(1) lima=α とすると,
liman=liman+1=α なので,
無理方程式
→80
漸化式 α+1=√2a+3 より, a=√2+3
両辺を2乗して α=2α+3 より
......1
α=-1,3
α=-1 は ①を満たさないから,
α=3
(2)|a,+1-3|=|v2a,+3 -3|=| (2a,+3)-9
1
(p.98 参照)
a²-2a-3=0
(a+1) (α-3)=0
α=-1, 3 が①を満
√2a+3 +3
たすか確認する.
|2a-6|
√2a+3 +3
2
lan
√2a+3+3
lan
(3)(2)より14,-3|≦12/21an-1-3| *(1)+
よって, |a,+1-3|23|42-31は成り立つ.
VII
23
2\n-1
la-31
21
分子の有理化
√2+30 より
√2a,+3+3≥3
1
√2a,+3+3 3
(2) をくり返し用いる.
|a-3|=|1-3|
|=|-2|=2
Focus
したここで=1 より,
2, lim 2-1
2\n-1
= 0 とはさみうちの原理より,
lim|an-3|=0
よって, lima=3 となり、題意は成り立つ。
liman=α⇒ liman+=α
n→∞
n→∞
a=1, an+1=√an+2 (n=1,2,3 ………)
練習
17
で定義される数列{an} について, lima を求めよ.
➡p.619)
→∞
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