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4t°-12t°=4(?-2t-2)(t-1)-8=-8
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演習 例題2224次関数のグラフと2,
関数y=x(xー4)のグラフと異なる2点で接する直標の方程式を求め、
「演習
[類埼玉大)
曲線(
けると
指針>
2 点(s, f(s)), (t, f(t)) におけるそれぞれの接線が一致する。
→ f(x)-(mx+n)=(x-s)°(x-t)
1 (x)=mx+nが重解s, tをもつ。
解答
ソ=x°(x-4)のグラフと直線y=mx+nがx=s, x=t
(sキt)の点で接するとすると,次のxの恒等式が成り立つ。
x'(x-4)-(mx+n)=(x-s)°(x-t)°
(左辺)=x*-4x°_mx-n
(右辺)={(x-s)(x-t)}?={x°-(s+t)x+st}°
=x*+(s+t)°x?+s-2(s+t)x°ー2(s+t)stx+2stx°
=x-2(s+t)x°+{(s+t)°+2st}x°-2(s+t)stx+s?t?
両辺の係数を比較して
-4=-2(s+t)
ーm=-2(s+t)st
のから
J人の
CHA
解答
ゾ=3x?
おける
すなわ
『この接
f(t)= -
fC
2,
下の別解は,指針の口の
え方によるものである。
0, 0=(s+t)°+2st
3,
これと②から
ーn=s°t?
f(t)=
f(t)の
s+t=2
st=-2
3から
m=-8
のから
n=-4
13 )ミ
S, tは uぴ-2u-2=0の解で, これを解くと
よって, y=x°(x-4)のグラフとx=1-/3, x=1+/3 の点
で接する直線があり, その方程式は
別解 y=4x°-12x?であるから, 点(t, (t-4)) における接線の方程式は
yー(t-4)=(4f°-12f°)(x-t) すなわち y=(4f°-12t?)x-3t*+8t°
この直線がx=s(sキt) の点で y=x°(x-4)のグラフと接するための条件は,方
x*-4x°=(4°-12t°)x-3t*+8t° がtと異なる重解sをもつことである。
u=1±/3
(sキtを確認する。
f
fL
y=-8x-4
3次関
tの3と
ら曲線
したが
これを変形して
(x-t{x?+2(t-2)x+3t?-8t}=0
条件を
よって,x°+2(t-2)x+3t?-8t=0
のが,tと異なる重解sをもてばよい。
検討
3次目
Aの判別式をDとすると
D
-=(t-2)-1·(3t2-8t)=-2(2-2t-2)
D=0 とすると
このとき,のの重解は s=-(t-2)=1千V3(複号同順)
t=1±(3 はピ-2t-2=0 を満たし
-3t*+8=-(t?-2t-2)(3t?-2t+2)-4=-4
-2t-2=0
これを解くと
t=1±(3
の形
いる。
よって、Sキである
これ
演習
練習
ゆえに,(*)から
ミー&-/
222
曲線C:y=x*-2x°-3x° と異なる2点で加
4
練習
O200
