例題 3 an=3n-2, bn=4n+1 (n=1, 2, 3, ......) で定められる2つの等差
数列{an}, {bn}に共通に含まれる項を, 順に並べてできる数列を {cm)
とする。 数列{c} の一般項を求めよ。
指針 数列{an}, {bn} の項を書き出すと
{a}:1,4,7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28,31,34,37,
{bn}: 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, ...
数列{an},{bn}に共通に含まれる項を書き出すと
{C}:13,25, 37,
よって、数列{c} は初項13, 公差 12の等差数列であると見当がつく。
→この公差 12 は数列{a} の公差3 と数列{bn} の公差4の最小公倍数。
3p-2=4g+1
解答 共通な項を ap = bg とすると
よって 3(p-1)=4g
3と4は互いに素であるから, gは3の倍数である。
ゆえに,g=3k(k=1, 2, 3, .....) と表される。
よって、数列{erの第n項は数列{6m}の第3項で
Cn=b3n=4・3n+1=12n+1 答
別解 数列{an}, {6} の項を書き出すと
{an}:1,4,7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28,31,34,37,
{6}:5,9,13, 17, 21, 25, 29,33,37,
数列{an}, {bn} に共通に含まれる項を書き出すと
{cn}:13,25,37,
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es
よって, 数列{cn} は, 初項が13で, 数列 {an} の公差3と数列{bm} の公差4の
最小公倍数 12 を公差とする等差数列である。
出
したがって, 数列{cm} の一般項は
Cn=13+(n-1)・12=12n+1 答
