例題 数学的帰納法を用いて, 次の等式を証明せよ。
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1+2+3+....+n= =1/12m(n+1)
証明
この等式を (A) とする。
[1] n=1のとき
左辺 = 1, 右辺 = 1/12・1・(1+1)=1学
•1•(1+1)=1
2
よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。
[2] n=k のとき (A) が成り立つ, すなわち
1-
1+2+3+......+ k = 1 ½ k (k+1)
が成り立つと仮定すると, n=k+1のときの(A) の左辺は
1+2+3+…+k+(k+1)=1/12k(k+1)+(k+1)
=1/21 (k+1)(k+2)
n=k+1 のときの (A) の右辺は
1
1/12 (k+1){(k+1)+1}=1/12(k+1)(k+2)
J
よって, n=k+1 のときも (A) が成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて (A) が成り立つ。 終
数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。
)1+3+5+.