例題
基本例
次の条件によって定められる数列{a}の一般項を求めよ。
33 等差数列,等比数列,階差数列と漸化式
α = -3, an+1=an+4
(3) a = 1, an+1=an+2"-3n+1
(2) (=4,20+1+30x=0
(3)類 工学院大]
漸化式を変形して,数列{an) がどのような数列かを考える。
00000
P.462 基本事
(1) an+1=an+d (an の係数が1で, dはnに無関係) 公差dの 等差数列
an+1= ran
12) Anti = a
(定数項がなく,rnに無関係)
→公比の等比数列
→f(n)=bn とすると, 数列{6} は {an}の階差数列であるから、公式
n-1
k=1
anibを利用して一般項 αを求める。
(1) an+1-an=4より, 数列{an}は初項α1=3, 公差4の
等差数列であるから
an=-3+(n-1)・4=4n-7
463
3
(2) an+1=-
2
-an より,数列{an}は初項 α1=4,公比-
3
<a=a+(n-1)d
の等比数列であるから
an=4.1
3\n-1
2
<a=ar
(3) an+1-an=2"-3n+1より, 数列{an}の階差数列の第n 階差数列の一般項が
項は2-3n+1であるから, n≧2のとき
n-1
an=a+ (2-3k+1)
k=1
n-1
=1+2-3 Σk+ 1
+2-3k+1
k=1
すぐわかる。
a=a+b
b=1
2 (2-1-1)
=1+
2-1
-3111(n-1)n+(n-1)
-3. (n-
5
=2"-1n2+
n-2
......
2
2
①
Σ2は初項2, 公
k=1
2 項数n-1の等
数列の和。
n=1のとき
・12+
33
21-33.1²+ 352.1-2=1
a =1であるから,①はn=1のときも成り立つ。
したがって
3
2
2
5
an=2"- anton-2
①初項は特別扱
an+1=an+f(n) 型の漸化式において, f(n) が定数の場合, 数列{an} は等差数列と
次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
(1) a1=2+1+1=0
(2) a1=-1, an+1+αn=0
