題 17 係数に文字を含む2次関数の最大値
αを定数とするとき, 関数 y=x²-4ax+2 (0≦x≦4) の最大値を求めよ。
また、そのときのxの値を求めよ。
方 αの値によって軸の位置が変化する。 そこで, 定義域の中央と軸の位置関係で
場合分けをする。
y=(x-2a)2-42 +2 より 2次関数y=f(x) のグラフは下に凸で, 軸は直線
x=2αである。
(i) 2a<2, すなわち, a <1 のとき
x=4 で最大値
f(4)=-16a+18
をとる。
(ii) 2α=2, すなわち, α=1 のとき
x=0, 4で最大値
(0)=f(4)=2
をとる。
(i) 24>2, すなわち, α>1のとき
x=0 で最大値
f(0)=2
をとる。
よって,
α <1 のとき, x=4 で最大値-16α+18
(i)
YA
0
X
x=2a
x=2a
(iii) y
x
a=1のとき, x = 0, 4 で最大値 2
α>1 のとき, x=0で最大値2
x=2a
x
