どこから?
応用問題 1
a は実数の定数とする. 2次関数 f(x)=x2-4ax+3 について
f(x) の 0≦x≦2 における最小値を求めよ.
f(x) の 0≦x≦2 における最大値を求めよ..
精講
文字定数αの値によって,2次関数のグラフの軸の位置が変わりま
すので,軸と変域の位置関係に注意して「場合分け」をする必要が
あります.最小値と最大値で場合分けのポイントがどこになるのかを、注意
く観察してみましょう.
解答
f(x)=(x-2a)2-4a²+3
より, y=f(x) のグラフの軸はx=2a である.
(1) グラフの軸 x=2a が,変域 0≦x≦2 の 「左側」にあるか 「中」にあ
か 「右側」 にあるかで、最小値をとる場所が変わる
軸が変域の 「左側」にある ・・・ 2a < 0
すなわち α < 0 のとき
軸が変域の 「中」にある
02a≦2
軸が変域の「右側」にある ・・・ 2a>2
なので、この3つで場合分けをする.
...
すなわち 0≦a≦1のとき
すなわち α>1のとき
(i) α <0 のとき
=0で最小値をとり、最小値は,f(0) = 3
(ii) 0≦a≦1 のとき
x=2cで最小値をとり, 最小値は, f (2a)=-4α² +3
(面) α>1 のとき
x=2で最小値をとり、最小値は,f(2)=-8α+7
以上をまとめると
3
(a< 0 のとき)
求める最小値は,
-4a2+3 (0≦a≦1 のとき)
-8a+7 (a>1のとき)
