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数学Ⅰ
3 自学
放物線y = x2 + ax + b ...... ①(a, bは定数)は、点(-3, 4)と通る。
x² ax+b
(1) bをαを用いて表せ。 b=3a-5
座標を①に代入して整理
(2) 放物線 ①がx軸と異なる2点 A, B で交わるようなαの値の範囲を
求めよ。 a < 2, 10 <a
2次方程式 x2+ax+(3a-5)=0の判別式をDとすると、 D > 0
となればよい。 D=α²-4(3a-5)>0 (a-2)(a-10) > 0
また、AB = 2 となるようなαの値を求めよ。 α = 6± 2√5
■2次方程式 x2 +ax+(3a-5)=0の解は
a±√a²-12a +20
2
x=
AB = 2, すなわち AB2
=
あとはこれを解く。
AB: √a² -12a+20
=
4 より a²-12a + 20 = 4
α2-12a +16=0

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(3) -2<x<0において、放物線①がx軸と1点のみを共有するような
xの条件を求めよ。 a = 2, 1 <a ≦'
3
接する場合と1点で交わる場合の二通りありそう。
接する
イ 1点で交わる
|2
準備: y=f(x)=(x+2)2-102+3a-5
a
a
軸 x=-- 頂点(
-a² +3a-5)
アの場合･･･ 頂点のy座標が 0 かつ 軸が-2と0の間
a
a2+3a-5=0 かつ -2<- <0
a = 2, 10 かつ 0<a<4
..a=2
イの場合･･･
f(-2) > 0, f(0) <0となる, すなわち
f(-2)xf(0) <0となればよさげ。
f(-2)=a-1, f (0)=3a-5だから
(a-1)×(3a-5) <0.1 <a<
ここで、f(-2) = 0 のときとf (0)=0のときを
確認しておく。
f(-2)=a-1=0, すなわちa=1のとき
f(x)=(x+2)(x-1)となるから不適。
•f(0)=3a-5=0, すなわちα =
5.
x+ 23 ) となり、
5
のとき
3
f(x)=x(x +-)となり、-2<x< 0 の間
3'
で交わるからおk。