高3【X4 円と領域】2025年7月進研記述模試

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赤城 (◕ᴗ◕🎀

Senior High3

▷ 過去問自学

2026.05.17 公開

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ノートテキスト

ページ1:

X40を原点とする座標平面上に,
円 C:x2 + (y-a)²=9 (aはa>3を満たす定数)
があり,円Cの中心をAとする。 原点 0 から円Cに接線を引き,
第1象限にある接点をBとすると, OB = 4 である。
(1) 線分 AB の長さを求めよ。 また, αの値を求めよ。
(2)直線 OB の方程式を求めよ。 また, 点Bの座標を求めよ。
(3) 直線 AB の方程式を y=mx+n(m, nは定数)とし, 連立
y ≧mx+n
不等式
の表す領域をDとする。 点(x, y)
x2 +(y-a)^ ≦9
が領域D内を動くとき, 2x+yの最小値を求めよ。
(配点 40)

ページ2:

令和7年度 総合学力記述模試 ・7月
~図形と方程式~
高3@自学
(1) C:x2+(y-a)²=9 (a>3) 中心 (0, α) 半径3
→ a)
線分ABの長さを求める。
AB の長さは円Cの半径と等しいので AB = 3
αの値を求める。
AB = 3, OB = 4 だから, 直角三角形 OAB で三平方の定理
により
OA = √AB2 + OB2 V32 +42 = 5
=
点Aのy座標 a は OA の長さと等しいから a=5
y▲
A
3
14
B
X

ページ3:

(2) C:x2+(y-5)2=9
直線 OBの方程式を求める。
OB:y=kx とおく。 点A(0, 5) と直線kx-y=0
との距離が3だから
|k.0-5| = 3 → 3√k² +1 = 5 → 9(k² +1) = 25
k2 +(-1)2
4|3
k>0より
k
=
4
よって, 直線 OBの方程式は y= x
3
点 B(接点)の座標を求める。
4
y=-xをx2+(y-5)2=9に代入すると
3
.4
x+ (2x-5)2=9
←
25x2-120x + 144 = 0
…. (5x−12) = 0
12
:
x =
5
4
4 12
16
これをy=-xに代入して y=-x
3
3
5 5
12 16
よって, 点 B の座標は
B(
,
5
5

ページ4:

y
(3)
≧mx+n
[x2+(y-5)2≦9
2x + yの最小値を求める。
2x+y=t
E
とおくと, y=-2x+t ...... ①
B
t
3
また, 直線 AB の傾きは
4
-x(-1)
3
X
よって, 直線①の傾きは直線AB の傾きより小さいので,
直線①が点Eを通るときに t, すなわち 2x + yは最小となりそう。
12
16
ここで,点E の座標を求める。 A(0, 5), B(
-)で,
,
5
5
12
点EはAに関して点 Bと対称な点だからE(
,
5
34
5
。
したがって, 2x +yの最小値は
12
34
2x+y=2x
+ |=
2
5
5