Question

通りすがりのK

分かる人いませんか？
ヒントでもなんでもお願いします

問題41                   7
の, の, の, の 7は実数とする。 う次程共* + pr2 のキアニ0の8つの解が
(2g+17+(6-の2z+リ0 +(22+6+1。 (2g+17 +(22+5-10, であるとき, か

さい。 た7ニーマー1 である。

Answer 1

ジャスタウェイ

x³＋px²＋qx＋r‪をこの方程式の3つの解α‬、β、γで表すと、
x³＋px²＋qx＋r＝(x－‪α‬)(x－β)(x－γ)
右辺を展開すると、
(右辺)＝x³－(‪α‬＋β＋γ)x²
＋(‪α‬β＋βγ＋γ‪α‬)x＋‪α‬βγ

左辺と右辺の係数を比較して、
p＝－(‪α‬＋β＋γ)
q＝‪α‬β＋βγ＋γ‪α‬
r＝‪α‬βγ
あとはここに数値を代入すればOKです！

ジャスタウェイ

すみません、このやり方だと計算力がかなり必要ですね汗
よってpのみ解いてしまいます。
よって、
－p＝(2a＋1)²＋(a－b)i
＋(2a＋1)²＋(a²＋b＋1)i
＋(2a＋1)²＋(a²＋b－1)i
pは実数なのでiにかかっているものは0にならなくてはいけないので、
(a－b)＋(a²＋b＋1)＋(a²＋b－1)＝0
したがって、b＝－2a²－a
したがって3つの解はaで表すと、
(2a＋1)²＋(2a²＋2a)i,
(2a＋1)²＋(－a²－a＋1)i,
(2a＋1)²＋(－a²－a－1)i
となる。
また三次方程式は少なくとも1つ実数解を持つので、(三次方程式は3次関数のグラフとｘ軸との交点のx座標のことで、3次関数のグラフを想像すると必ず1つはｘ軸と交わる)
それぞれの解でiにかかっているものが0になるという場合分けをします。
しかし－a²－a－1のときは注意でaが実数解を持たないことから不適となります。
あとは3つの解を求めて、条件にあっているか確認し、先ほど求めたq,rに代入すれば求まります！