ページ3:

(3)
(配点 50点)
この問題の解答は, 解答紙 17 の定められた場所に記入しなさい。
[問題]
以下の問いに答えよ。
(1) n を整数とするとき, n2 を8で割った余りは 0, 1, 4 のいずれかであるこ
とを示せ。
(2) 2m = n2 +3 をみたす0以上の整数の組 (m, n) をすべて求めよ。
-6-

ページ4:

(4)
(配点 50点)
この問題の解答は、 解答紙 18 の定められた場所に記入しなさい。
[問題]
半径1の円周上に反時計回りに点 A, B, C, D を順にとり, 線分AD は直径で,
AC = CD, ABBCが成り立つとする。
(1) ∠ACB を求めよ。
(2) BC を求めよ。
(3) 線分AC と線分BDの交点をEとするとき,三角形BCEの面積を求めよ。
-8-

ページ5:

(5)
(配点 50点)
この問題の解答は, 解答紙 19 の定められた場所に記入しなさい。
[問題]
1個のさいころを3回続けて投げ, 出る目を順に a, b, c とする。 整式
f(x) = (x2 - ax +b)(x-c)
について, 以下の問いに答えよ。
(1)f(x) = 0 をみたす実数の個数が1個である確率を求めよ。
(2) f (x) = 0 をみたす自然数の個数が3個である確率を求めよ。
-10-

ページ6:

[1]
A (1, 1, -5)
B (-1, -1, 7)
C (1, 1, 3)
平面 d
Pla, b, t )
xy 平面上の点より
(1)
Q12
実数a,ひとして
Q 14. v, 07
と表す
PQ
=
00
OP
=
'
0)
V - b
AB
=
=
( u, u
lu-a
O BOA
-
(-1,-1,7)
-(11-5)
( a, b. t )
-t)
AC
=
(-2,-2,
12)
= 00
=
=
-
OA
(1,-1,3)-(い
(0,-2,8)
-
5)
L1PQ
より
AB
PQ
PQ
AB
-214- a) 2 | U
-Lu+La
u -
-
-
-
= 0
b)
+12(t) = 0
2 +26-12t
-
= 0
= 0
a
+ ひ
b+6t
u + v
=
a+b
-
6t
A
C
Q
'B

ページ7:

Po
L L P Q 5 )
AC I FO
AC-PQ
= 0
0.(u-a) 2(0-6) +8⋅(-1) = 0
-
-2 (v-b)
v
-
= 0
8t
b
+ 4t
= 0
2
(2)
OQ²
よ
v =
ひ =
þ- & t
xt
u =
=
=
=
a+b
6t
a+b
a
+ b
a-2t
-
-
6t
6t
-
-
-
ひ
(b-4t)
b +
&t
Q1a-
2t.
þ-4t)
(1/1)))
=
=
(a-2t)² + (b - 4t) *
(b-4t)²
a² - 4 at + 4 t²
+ b² - 8bt + 16t
=
2002 - 4at
=
2012 - 41a
=
-
8bt
+ a² + b²
+ a² + b²
+2b)t
20 (t² - - - (a+26) t } + a² + b²
20
=
=
=
5
20 (t-
a+26
+
a² + b²
20|1t
2
20t
= 20 (t
=
20 (t
9+26
2.5
A+2b
10
-
-)² - 20
a+26
2-5
2
"
a² + ab + 46'
100
a+26) a²+ab+46*
-)
10
2
+
5
a+2b)+ - a²-4ab-41²
10
5
+ a² + b²
+ a² + b²
+
a² + b²
5a² + 5 b²
5

ページ8:

= 20 (t = a + 2b)² +
10
4a² - 4 ab + b²
5
OQ
0Q² 9
最小値は
4a² - 4 a b + b
5
OQ の
最小値が 以下より
4a²-4ab+
+b²
{ |
5
-
12a-6)²
5
15
b|
{ /
20-6 5/5
a
5≤2a-b5
-2a
15
b
≤
2a + 15
¾
b
?
2a-
√15 ≤
b s
-
2a + √5
2a-
2a+
√5
店
(答)

ページ9:

[2] (1) y = tan x
dy
du
=
=
cos³x
1 + tan x
(2)
-
0
tan X
=
(1)より
+ y²
(谷)
- tan²x
2
dx
tan x
tan² x - 4
(tan'l + 1 ) (tan² -2)
(tank + 2) (tan x-2)
tとおくと
dt
dx
du
=
1 + t²
x
0
①は
0
dt
dt
dx
→
=
1 + t 2
dx
(t² + 1) (t² - 2)
(t + 2) (t − 2)
du
dt
-
dt
=
: f'
(t² + 1) ( t² − 2)
1
dt
0
1+t2
=
(t + 2) (t − 2)
t² - 2
い
dt
2
= 1.' (1+0) de
2
-) dt
4
=1.11+ (t+2)(-2)
1
} dt
= Jo{1
+
2 t
j d t
=
- 2
t +2
t-2
1
t+2
(t+2)-(t-2)
(t-2) (t+2)
=
k
(t+2) (t−2)
より

ページ10:

=
[t + ½ (log|t-2 | - log\t+21)] !
1
= [ t + — log | t = 2 | ]
=
t+2
I
!
(1-0) + 1 = \log | | -2 | -
2
log
| |———² | |
=
+
-
2
log | )
=
=
=
=
=
| + | | ( log | - log 3 - 0 )
1 + 1/1/12 ( 0 = log 3 )
| - | lug
-
log 3
1 - log√3
3
(5)
(谷)

ページ11:

〔3〕 (1) 整数んを用いて
n = 4k. 4k+1,
とする
[1] n=4hのとき
4k+2.4k+3
n²= (4k)² = 16 k =8.2k2
8で割
た余りは 0
川 n=4k+1のとき
[3]
=
n² = (4k+1)
=
8 (2k' + 1) + 1
16k²+8k+1
8で割 た余りは
4k+2 のと き
=
(4k+2)=
16k+
16k+4
=8 (2k^+2k) +4
8で割った余りは4
[4]
n
=4k+3のとき
2
n =
14k
+ 3) =
16k+24k+9
=
=
16k2+24k+8+1
3k+1) +1
8
k² +
2
た余りは1
8で割
[1] [2] [3] [4]
より
を8で割った余りは
2
n
0,1,4の
いずれ
のである

ページ12:

(2) 2m=n'+3
(1)より
整数lを用いて
①
n² = 8l, 8l + 1, 81+4
と表す
η+3は
8l+3, 8l+4.8l+7
と表される
①の左辺 の
① 右辺の
の
8l
+
2"は偶数
n+3も偶数
38l+7は奇数なので
n2+3=
8l+4
m
2 =
2m
2"
2
m
=
=
=
2
n+3
8l+4
4(2l+1)
2 (2l+1)
2の 約数
の
または2
21+ | 12
21+1は
奇数より
☐
より
n20より
2l+1 =
2l
l
= °
=0
n'+3=
8.0 +4
n
4-3
n
=
|
n
=
L
m
=
1+3=
不適
(2)
4
=
22
mzo より
m= 2
(m, n) =
(2,1)
(答)

ページ13:

[4] AC
= CD
AB=BC
C
(1) A, B C
Dは
'
D
A
右
の図のようになる
<CDA= 45°
LA B C = 180 - LCDA
=
180-45
=
135°
△ BACは BABC の
= 等辺三角形より
-
LACB = 1180 - ∠ABC) ÷ 2
=
(180 - 135) ÷ 2
45
=
= 22.5°
(答)
2
(2) △ACDは LACD
= 90°の
直角
等辺三角形
=
AC AD
に
AC:2
=
ACxE
AC=
=
2 × 1
2
2√2
2
=
=
√2
2x
C
X
2
A
BC = xとする
AB=BC より AB=x
△BACで余弦定理より
AC=BC'+BA
2
-
- 2 BA BC cos LABC
C
x
B
135
x
A

ページ14:

( 2 ) = x
2
+ X
2
-
2
=
2 x²
2x'
2
=
2x² + 2x²
2.x.x
cos135°
2
2
2
=
2x
+
巨
2
12+
2) x
し
2 =
(2+√2) x²
X>0 F)
2
x²
= 2
=
=
=
x =
B C =
2
2+√2
212-
4
2-12
12
-
2
=
(2-2)
(2+2)(2-2)
(2-12)
2
2
2
-
(答)
(3)
(1)より
LCPA = 45°
LBAC=∠BCA
BC について
円周角の定理より
=
22.5°
L B D C
=LBAC
=
22.5
LADB
= LADC - LBPC
45-22.5
= 22.5°
D
°
°
E
:
LBDC
= LADB
=
22.
5°
こ
BDは
LADC
の =
等分線
△
DAC において
CE: AE =
DC: DA
=2: 2
A
A

ページ15:

OBCA =
BC BA
Fin L A B C
2
=
-|~
2
-|~
2
1
2
12-12-12-12
√2-21
-
2 2
12
22
√2 - 1
2
1)
Sin 135°
135°
CE
CE
ABCE =
A BCA
=
BCA
AC
AE + EC
12-1
②より)
2+/2
2
=
=
=
√2(2+1)
3
2
(√12-1)
+ 1) (√2-1)
√2-1
2
-
-
-
2
2
12-1
12-1
2√2+1
2
2/2
2
2
(答)
A

ページ16:

[5]
さいころ
a. b. c.
f(x) =
(x^_ax+b)(x-c)
(1)
f(x) =
0
(x² - ax + b) (x-()=0
x² - ax + b = o
またはC=0
x^2-ax+b=0
f(x)
または x = c
0 の
実数解
の
7 は
x=c.
f(x)=
0
の実数解が
個であるとき
x2ax+b=0
は
重解 x = c
をもつ
または実数解をもたない
[1]
x^2-ax+b=
0 が
重解 x=cをもっとき
x²- ax + b = (x-
=
x²-2cx + c²
a =
2C
b =
c²
a. b. c 12
1 ≤ b ≤ 6 5 )
(a,b,c)
=
1以上 6以下の整数
1≤c²≤6
C = 1, 2
( 2, 1, 1), (4, 4, 2)
2通り

ページ17:

[2]
x2_ ax +
b
= 0 が
実数解をもたないとき
判別式をDとすると
(-a)².
az
-
-
Isb≦6より
D < 0
4:16 <0
46
<。
a² <4b
4≦4b≦24
a² < 46 ≤ 24
az
<24
a = 1,2,3,4
(a,b)
=
(1, 1)
(1.2) (13)
(1.4). (1.5) (1.6)
(2,2) (2,3) (2.4) (2,5) (2.6)
(3,3), (3,4), (3, 5), (3.6)
(4,5) (46)
(a,b)は
17 組
b) に対して
それぞれのla,
( 1J 1から6まで 6通りあるので
[2]
2
63
17×6=102(通り)
排反より
+
102
104
104
63
52
3.66
=
6.6.6
26
3.3.6
13
13
(谷)
3.3.3
27

ページ18:

(2)
f(x)= 0
① より x² - ax + b = 0 x=C
f(x)=0
の解が
個より
x²-ax+b=
0
の解は
x = C かつ
なる2つの実数解をもつ
D
> 0
(-a) - 41b>0
a² - 4b > 0
x²-
2
>4b
ax+b =0
の
異なる2つの自然数の解を
B (α <B) とすると
解と係数の関係より
α + B = - (-a) = a
{
α B
=
b=1のとき
(dB)
=
(1) で
〆<B
矛盾
不通
=2のとき
(α. B) (1,2)
=
x2_(1+2)x + 2 =0
(x-1)(x-2)
= 0
=
2.
:: (a,b)
=
(3,2)

ページ19:

=
3のとき
(d, (3)
=
(1,3)
x
x
-
-
(1+3)x +3=0
+3
4x
(x-1)(x-3)
x=1,3
0
0
(a,b)
b=4のとき
=
(4.3)
(d,B)
=
(1,4)
(α, B)
=
(1.4)
2
x
のとき
(12,2)は〆くBより不適)
(1+4)x +4 = 0
x²-
2
5x+4
= 0
(x
-1)(x
-
4)
=0
x=1,4
(a,b)
= (5,4)
b=5のとき
(dB)
x²
x2
= (1.5)
-
(1+5)x+5=0
6x+5
(x-1)(x
-
= 0
5) =0
x=1,5
(a, b) = (6.5)
b=6のとき
(dB)
=
(dB)
x
x
い
=
2
2
-
6) (2.3)
.
(16)のとき
(1+6) x +
+6
a=7,
= 0
b=6
0

ページ20:

lsas6より
(d, (3)
=
不適
(2,3) のとき
x^2-(2+3)x+6=0
(x-2) (x-3) = O
x=2,
(a,b) (5,6)
(a,b)= (3,2), (4,3), (5,4), (6,5). (5.6)
5組
それぞれのla,b)に対して
( 1J 1から6までのうち
α、Bと異なる自然数の解しが
4つ
あるので
条件を満たす(a,b,c)は
5×4
= 20 (通り)
求める確率は
20
63
20
=
6.66
5
3.3.6
=
5
(谷)
36