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H.24 1月進研記述高1模試 @自学 3 2つの2次関数 f(x) = x2 - 2x +2a2, g(x) = -x2 +2(2a-1)x-4a²+7a-2 がある。 ただし, αは0<a<2を満たす定数とする。 (1) y=f(x), y=g(x)のグラフの頂点をそれぞれαを用いて 表せ。 (2) a≦x≦a+1におけるf(x) の最小値をαを用いて表せ。 (3) a≦x≦a +1 における f(x) の最小値をmとする。 a≦x≦a+1において, つねにg(x) <mとなるようなαの値の 範囲を求めよ。 (配点 20)
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自学
f(x) = x² - 2x+2a² / g(x) = −x² +2(2a − 1)x−4a² +7a −2
(1)それぞれ平方完成すると
> f(x) = x²-2x+2a² = (x-1)²+2a2-1
▷ g(x) = x²+2(2a-1)x-4a² +7a-2
=
-
答(1,2a2-1)
-{x-(2a-1)}+(2a-1)²-4a²+7a-2
= − {x − (2a − 1)}² + 3a −1
-
(2a 1, 3a -1)
-
ページ3:
自学 f(x) の軸: x=1/頂点: (1,2a²-1) 下に凸の放物線の最小値 軸が定義域の左・中・右で場合分け (今回は左・中の二通り) (2)(i)1<a< 2 (軸が定義域より左)のとき x=αのとき最小となり,最小値はf(a)=3a2-2a (ii) a (i) 1 ≦a+ 1 (軸が定義域の中), すなわち 0<a ≦1のとき x=1のとき最小となり,最小値はf (a) = 2a2-1 (ii) 1 a a+1 a 1a+1
ページ4:
自学 2a2-1 (0<a≤1) 整理 (2) より m= 3a2-2a (1<a<2) g(x)の軸:x=2a-1/頂点(2a-1, 3a-1) 上に凸の放物線の最大値 軸が定義域の左・中・右で場合分け (今回は左・中の二通り) (3) ▷ a≦x≦a + 1 におけるg(x)の最大値(Mとする)を求める。 (i) 2a-1≦a (軸が定義域より左) かつ0<a< 2 すなわち0<a ≦1のとき M = g(a) = -a² +5a-2 M <mより -a²+5a-2<2a² −1 ∴.3a² -5a +1 > 0 5-V13 5+v13 :. a< 1 a <a a+1 6 6 5-v13 条件より 0<a< 6 (ii) a <2a-1(軸が定義域の中) かつ0<a< 2 すなわち1 <a<2のとき M = g(2a-1)=3a-1 M <mより 3a-1 < 3a2-2a ∴.3a² - 5a +1 > 0 5-√13 :. a< 6 5-v13 条件より <a<2 6 5+√13 <aa 1 a+1 6
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