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令和7年 1月進研記述高1 模試 @自学 | B6 0A = 5, OB = 3 の△OAB があり, OA・OB = 5 である。また, OA=a, OB=bとする。 (1) ABをa, bを用いて表せ。 また,|ABの値を求めよ。 (2) OC = sa + to (s, tは実数) で表される点 C を考える。 OA⊥AC かつ OB⊥BC であるとき, s, tの値をそれぞれ求めよ。 (3)(2)のとき, 直線 OC と直線 AB の交点をDとする。|OD|の値を求 (配点 40) めよ。
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É*©Akagi (1) ► 始点の統一により AB = OB - OA ◆ 後半 =b-a 4x |AB|² = |b-a |² = |b|² −2a·b+|a| 2 |a| =5, |b| =3, a⋅ b = 5+ y =32-2x5+52 = 24 終
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自学 © Akagi
(2) ▷ 準備始点の統一により
…①
②
AC=OC-OA = (s−1)a+ tb ......①
同様に
BC=OC-OB=a+(t-1)
OALAC かつ OB_BC だから, ベクトルの垂直条件により
|OAAC=0
よって, ①と② より
a.ks-1)a+16}=0
∴ (s-1)|af +ta.b=0
∴ (s-1)x52+1×5=0
∴ 5s = 5-t
かつ
|OB BC = 0
これらを連立方程式として解くと
6.{sa+(t-1)}=0
sa.b+(t-1)|6/2=0
5s=9-9t
s×5+ (t-1)x32=0
1
9
S =
2
10
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自学 © Akagi 9 → (3)(2) OC 1 =-a+ -b 10 2 点 D は直線 OC 上にあるから, 共線条件によりOD = kOCとなる実数 が存在するので 9 OD=2 ・ka+ -kb →>> 1 10 2 と表せる。 また,点Dは直線AB 上にもあるので, 係数和1の法則、つまり③の 係数の和は1だから 9 -k+ 1k= 5 - k = 1 ∴.k ④ 10 7 ④を③に代入すると OD = であるから |OD|2 9 14 = = 5 a+ .b 14 1 142 1 142 1 142 · | 9a + 5b | ² (81|a|² +90a·b+25 | 6 |²) - (81×52 + 90×5+25×32) 2700 142 |OD >0より 12700 15 OD| = √3 終 142 7
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