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Y40を原点とする座標平面上に, 中心が点 (3, 1), x軸に 接する円 C がある。 また, 原点 0 からCに引いた接線のうち傾 きが正であるものをℓとし,Cとℓの接点をAとする。 (1) Cの方程式を求めよ。 (2) lの方程式を求めよ。 (3)円Dは中心がC軸上にあり,点AでCとℓに接している。 Dの方程式を求めよ。 また,点PはD上の点であり, OP = 3 を満たしている。 点Pの座標を求めよ。 (配点 50 )
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令和7年度 4月進研記述高3模試の自学 (1)円Cは, 中心が (3,1)で半径が1の円だから (x-3)2 +(y-1)^ =1圈 l:y=ax (ax-y=0) とする。 円Cの中心 (31) からlまでの距離は、円の半径1と 等しいから |α3-1| - 1 ..|3a-1| = √ = √√a² +1 √a² +(−1)² 2 2 ..(3a-1)^ = a +1 ... a(4a - 3) = 0 a>0より 3 よって、l の方程式は y=-x 4 a = 3 4
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(3) 円Dの方程式を求める。 点A(3, 1)を通り、lに垂直な直線を とする。 mは傾きが 4 4 4 -だから、y-1 == (x-3) より m:y: - -x+5 3 3 3 円Dの中心は直線上にあり、かつ、y軸上にあるから 中心の座標は (05)。 また、円Dの半径をr とすると、 2つの円の中心の距離は、 2つの円の半径の和と等しいから √(0-3)2 +(5-1)^ =r+1 よって r=4 m 以上より、円Dの方程式は e (0, 5) x 2 + (y -5)2 = 16圄 A(3,1)
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(3) 点Pの方程式を求める。 P(x, y) とする。 ・OP=3より すなわち √√x² + y² + y² = 3 x2 + y2 = 9 ① ・点Pは円D上の点だから x²+(y-5)²=16 ……② ①と②を連立方程式として解くと (9-y^)+(y-5)²=16 9 .. y 5 ①に代入して 9 x² + (²)² = 9 ..x=± 5 12 5 12 したがって、 P 5 暗号 9 12 9 または P 5 5 5
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