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数学Ⅰ 数学A ( 全問必答) 第3問 (配点 20) 自学() D F E B G A 参考図 鋭角三角形ABCにおいて, AB = 4, AC = 3 とする。 △ADE は, △ABC を平面 ABC 上で点Aを中心に回転したものであり,△ABC と△ADE の頂点はこの順に対応している。 点 E は線分AB 上にある とし,さらに,直線AB と直線 DC の交点をF, 直線 BCと直線 DE の交点をG とする。 このとき AE = ア EB = イ であるから である。 AE: EB = = ア .. イ また,△ABC = △ADE より,∠BAC = ∠DAE であることに注 意すると CF:FD = ウ エ である。 (数学Ⅰ 数学A第3問は次ページに続く。)
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(1) DE:EG = 4:1 とする。 △CDG と直線 BF に着目すると, メネラウスの定理により GB オ = BC であり (△BGE の面積) キ (△CAE の面積) ク である。 (2) △ADE の外接円と直線 BD との交点で, 点 Dとは異なる点を H とする。このとき,鋭角三角形ABC の形状によらず, 4点 C, G, H, D は同一円周上にある。このことは,次の構想に基づいて, 後 のように説明できる。 構想 4点 C, G, H, D が同一円周上にあることを証明する ためには . BH BD = ケ を示せばよい。 4点 A, E, H, D は同一円周上にあるから, 方べきの定理により • BH BD = コ である。 ①
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= =180°であるから,4点 また,∠BCA+ / 同一円周上にある。 サ よって, 方べきの定理により シ は ケ = コ である。 ①,②より, BH・BD = ケ であるから,鋭角三角形ABCの 形状によらず, 4点 C, G, H, D は同一円周上にある。 ケ の解答群 OBG BC ① CG・CG ② BG2 サ の解答群 ◎ AEG ① CAE GEB の解答群 O A, C, F, G ::①::: A, C, E, G ② C, E,F,G
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2025 年度 第1回全統共通テスト高3模試@自学 Akagi 第3問 【図形の性質】 D △ABC≡ △ADE より AE = AC = 3 EB = AB - AE=4-3=1 であるから AE: EB = (3) :① B F E G ○ > ∠BAC = ∠DAE で, 内角の二等分線と比の定理により CF : FD = AC: AD = 3:4
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(1) DE:EG: = ④: ① とする。 △CDG と直線 BF でメネラウスの 定理により GB CF DE × 1 (4) BC FD EG 4 1 GB 3 × BC 4 GB 1 BC 3 × -- 1 → BG:GC = ① :② [T] E ① B D △BGE の面積をSとすると BG : GC = 1:② より △CEG = 2S よって ③ F IS E ① S 2S B G BE: EA = ①③ より △BCE = S + 2S = 3S △CAE =△BCE×3=9S したがって (△BGE の面積) (△CAE の面積) IS A OC ・C 中2: 等積変形 高さが等しい三角形の S 1 面積の比は底辺の比 = = 9 に等しい
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(2) 4点 C, G, H, D が同一円周上にあることを証明するためには BH.BD = BG.BC 方べきの 定理の逆 を示せばよい。 4点 A, E, H, D は同一円周上にあるから, 方べきの定理により BA BH BD • = BE = 1 . 4 = また, △ABC≡ △ADE より ∠ACB= ∠AED よって ∠ACB + / AEG = 180° であるから, 4点 A, C, E, Gは同一円周上にある。 よって, ナンタラカンタラ･･･
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