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Z1 座標平面上に点 (0, 2)を通り, 半径が5である円 C:x2+y2-2ax-6y+b=0がある。 ただし, αを正の定数, bを定数とする。 (1) a,bの値をそれぞれ求めよ。 1 (2)直線y=-x+5に垂直で, 円 C に接する直線は2本ある。 2 このうち, y軸の正の部分と交わる直線をmとする。 直線 m の方程式を求めよ。 また, 直線と円Cの接点の座標を求め よ。 (配点 20)
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令和7年度 総合学力記述模試 ・7月 ~図形と方程式~ 高3 @ 自学 (1) C:x2 + y2-2ax-6y+b=0 円Cは点 (0,2)を通るから 02 +22-2a.0-6.2+b=0 ∴. b = 8 C:x2 + y2-2ax - 6y + 8 = 0 平方完成すると 半径が√5だから (x-a)2 +(y-3)' = a² + 32 - 8 .. (x− a)²+(y-3)² = a² +1 a² +1 = (√5)² ∴.a=2 (a>0)
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(2)
■ (1)より C:(x-2)2 + (y-3)²=5 中心 (2,3)
1
直線 y=-- x+5に垂直な直線を 傾き2
2
y=2x+k (2x-y+k=0)
・①
とおく。 ただし, k > 0 とする。
y軸の正の部分
と交わる
①が円Cと接するとき,円の中心と直線①の距離が√5だから
|2.2-3+k|
22
√2² + (-−1)²
=
2
=√√√5 15
∴|1+k| = 5
.. 1+k = ±5
k = 4 (∵k> 0)
よって, m の方程式は
y=2x+4
▲ m:y=2x+4をC: (x-2)+(y-3)2=5に代入すると
>
(x-2)^+{(2x+4)-3}=
mに代入して
..x = 0
y = 2.0+4=4
したがって, 求める接点の座標は (04)
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