(1) まずは正統派な方法から
(x^2-1)(y^2-1)-4xy=(y^2-1)x^2-4yx-(y^2-1)[xについての式と見よう. 一変数について整理するのが定石]
=(y-1)(y+1)x^2-4yx-(y-1)(y+1)={(y+1)x+(y-1)}{(y-1)x-(y+1)} [(y-1)^2-(y+1)^2=-4y]
=(xy+x+y-1)(xy-x-y-1)
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[別解] -2xyを2つに分けると
(x^2-1)(y^2-1)-4xy=(x^2y^2-2xy+1)-(x^2+2xy+y^2)
=(xy-1)^2-(x+y)^2=(xy+x+y-1)(xy-x-y-1) [最後はa^2-b^2=(a-b)(a+b)を使う]
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(2)これは余事象を考える方が楽です.
1の目が出ない確率は{1-(1/6)}^4. 1の目が1回出る確率はC(4, 1)[組み合わせ](1/6){1-(1/6)}^3である.
したがって求める確率は1-{1-(1/6)}^4-C(4, 1)(1/6){1-(1/6)}^3=1-(3/2)*(5/6)^3=19/144.
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(3)実数aはa>3またはa≦3, 実数bはb>0またはb≦0がいえます. このことをうまく使いましょう.
a+b>3⇔⇔b>3-aと変形することが出来ます.
a≦3⇔3-a≧0ならばb>3-a≧0がいえるので真です.
[別証]
a+b>3⇔a>3-bと変形できます. b≦0⇔3-b≧3ならばa>3-b≧3といえるので真です.
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対偶を考えてみると...
[別証2]
対偶命題a≦3かつb≦0ならばa+b≦3は明らかに真です. したがって元の命題も真です.
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直接証明の方が具体的に何が起こっているのか分かるので優先したいところです.
横の[]にある(y-1)^2-(y+1)^2=-4yが手掛かりです.
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たとえば
2x^2-5x+3=0⇔(2x-3)(x-1)=0と因数分解する際に
2 -3
1 -1というようにたすき掛けをするでしょう.
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文字が入っていてもやることは同じで
(y-1)(y+1)x^2-4yx-(y-1)(y+1)
y+1 y-1
y-1 -(y+1)のようにして探してやればいいのです.
(y-1)(y+1)x^2-4yx-(y-1)(y+1)
={(y+1)x+(y-1)}{(y-1)x-(y+1)}
何故こうなるのか教えてください。お願いします🤲