Question

ゲスト

問　2点A(0,1),B(3,4)と、放物線x^2=4y上に点Pがある。APとBPの長さの和を最小にする点Pの座標を求めよ。

点Pのx座標をpとおくとP(p,p^2/4)であり、Aは放物線の焦点であるからAPの長さと、Pとy=-1の距離が等しいのでAP=p^2/4+1である、と考えて、三平方の定理からBPを求めてみましたが、その後が一向に分からず解けません。この方針は見当違いなのでしょうか。どなたかこの問題の解き方を教えてください。

追: 2点からの距離の和の問題なので、楕円で考えてみようかと思いましたが、楕円の軸が回転しており、楕円の回転に触れていない範囲の確認問題のため、この問題の解き方には合わないと判断しました。

Answer 1

さい先生

「点Aが放物線の焦点である」ことがわかっているのは大きな手がかりです。
2点からの距離の和の最小値を考えるにあたり、理想なのは、2点の間に直線なり、曲線があることなのですが、この問題では、2点はいずれも放物線の上側(同じ側)に位置します。
そこで、最初にいった大きな手がかりの部分になりますが、焦点がわかる=準線がわかるということですよね。
放物線の定義は「直線と直線上にない定点からの距離が等しい点の集合」でした。
したがって、点Aの代わりに準線上の点からの距離を考えればあとは一目瞭然です。
計算もほぼほぼ暗算でいけます。
下の図を参考にしてください。

ゲスト

さい先生さんの図を見て、B、P、Hが一直線上に並ぶとき(p=3のとき)にAP+BPが最小になるのではないかと考えましたが、それをどのように式で表せば良いかがわかりません。BPの長さを求めてみたのですが、ルートの中が4次式になり、うまく解けません…

さい先生

BP+PHが最小になるのは、すなわちBPHが直線(線分)を表すときです。このとき、点Bも点Hもx座標は3ですから、、、、

ゲスト

B,P,Hのx座標がいずれも3になるということですね！ありがとうございました！