のから
an+1-la(n+1)+β}=2{a»-(an+8}
よって
an+1=2a,-an +α-β
ーα=3, α-8=0
これと an+1=2a,+3n の右辺の係数を比較して
ゆえに
α=-3, β=13
ag+1-(-3(n+1)-3}=D2{a,-(-3n-3)}
a,-(-3-3)3D7
このとき
また
よって,数列 (a,ー(-3n-3)}は初項7, 公比2の等比数列で
a,ー(-3n-3)=7·2"-1
したがって
a,=7-2"-1_3n-3
|16 次の条件によって定められる数列 (a,}の一般項を求めよ。
a=
2, ant1=3a,+2n-1
解説)
an+2=3an+1+2(n+1)-1
an+2-Qm+1=3(an+1-a,)+2
bn+1=36,+2
bn+1+1=3(b»+1)
an+1=3a,+2n-1
条件から
辺々を引くと
b,=an+1-a, とすると
この漸化式を変形して
5
ここで, a2=3a,+2.1-1=
であるから
2
bi+1=(42-ai)+1=
よって, 数列{b+1} は初項3, 公比3の等比数列であるから
すなわち b,=3"-1
b,+1=3-3"-1
数列(b}は数列 {a,}の階差数列であるから, n>2のとき
n-1
1
3"--2n
a,=a+ 2(3_1)
(n-1)=
2
三
2
3-1
k=1
1
初項は a」=
なので,この式は n=1のときにも成り立つ。
2
3"-2n
したがって
a,=
2
5-2
ありがとうございました！