Question

IK

この問題の(2)の記述の仕方はあっていますか？

a, b, cは実数の定数とする。2次方程式 ax? +bx+c=0は次の各場合において,虚数解をもたな
いことを示せ。(10点×2)
Q1) b=a+c
(2) aとcが異符号
2りも2つレュ23
れにb=atcE化ムして
今式をえにgrza 2次式とみて半イa/E Dと8と
D-6-4ac tがる。
Qccが なので D=bイドackなる。
れ 644ac 20 となるのでD20
8(7をもつ。
まって産解を見たなこ。
2=
2a
-2-cla-c)
そaてAlaeacre= ferc
2=.
ニ
20
20
-a-C(a-c)
2まイッズーー会。
2a
a,ciは数であるのど270期解をそつ
ビsの古がしい.
フま/ 解をもたない。
D-B-4ac= (cxtc)-4ac
=ar2actc?-4ac
--2actc=(a-c)こ。
複素数と方程式 <7>

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

零

間違っています。
aとcが異符号だからといって、
D=b²-4ac
↓
D=b²+4ac
となるわけではありません。
異符号のときに言えるのは、
ac＜0
ということです。この式から出発してD≧0を示しましょう。

IK

なぜ
D=b²-4ac
↓
D=b²+4ac
にならないのですか？

零

aとcが異符号の例として、a=1,b=2,c=-3の場合を考えてみましょう。
x²+2x-3=0
となりますが、その判別式は
D=2²-4∙1∙(-3)
であって、
D=2²+4∙1∙(-3)
ではないですよね。
a,b,cの符号に関わらず、判別式の形は同じです。
もしかしたらIKさんのイメージにあるのは、
ac=-|a||c|
ということなのかもしれませんね。
これならば、
D=b²-4ac=b²-4(-|a||c|)=b²+4|a||c|≧0
ということはできます。
でも、D=b²-4acという判別式自体は変わりません。

IK

そうです、そういうイメージが頭にありました！

D=b²-4ac=b²-4(-|a||c|)=b²+4|a||c|≧0ができるならば使ってはいけないのでしょうか？

零

D=b²+4|a||c|という書き方ならばまあ大丈夫ですが、
D=b²+4acと書くのは間違いだということです。
具体例で言うと、
D=2²-4∙1∙(-3)=2²+4|1||-3|
は成り立ちますが、
D=2²-4∙1∙(-3)=2²+4∙1∙(-3)
は成り立たないということですね。

IK

これでokでしょうか？

零

okですね。
ちなみに
「ac＜0より
-4ac＞0
両辺にb²を加えると
b²-4ac＞b²
bは実数だからb²≧0
すなわちb²-4ac＞b²≧0
よって、D=b²-4ac≧0」
と書くとより丁寧ですね。

IK

なるほど！
ありがとうございました！