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√e^(1-t)=e^{(1-t)/2}です. あとは多項式の場合の積分計算と混同しているのではないでしょうか?
以下のように置き換えを使うことで勘違いを回避することが出来ます.
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u=(1-t)/2と置くと, t:0->1はu:1/2->0に対応し, dt=-2duなので, 与えられた定積分は
-2∫[1/2->0]e^u du=2∫[0->1/2]e^u du=2(√e-1)と計算できる.
解答ありがとうございます!!!
置き換えを使うと正しく解くことができました！！
多項式の場合の積分計算と混同していると指摘して頂いたのですが,多項式の場合というのはどういう時ですか？
あと置換積分を使う見分け方やコツなどがあれば教えて欲しいです…！
何個もすみません
多項式の場合というのは, x^n⇔x^(n+1)/n+1です [高校では不定積分は微分の逆演算].
実際にどう計算したのかは完全に分かりませんが, 冪の形からそう推測できたわけです.
この問題の場合はf(x)=e^x, g(x)=(1-x)/2でf(g(x))=e^(1-x)/2とみるのが正しいです.
ゆっぺさんがまずかったのは
①何が大元のf(x)か把握できなかった. おそらくg(x)に気を使いすぎた.
②置換積分がやりにくいと感じたときは躊躇なく置き換えをするべきだった.
③結果を微分[合成関数の微分法]して検算する. そうすればミスに気づけた.
これからはこういった点に注意すればいいでしょう.
早くてとても分かりやすい説明ありがとうございました！！
ちゃんと理解できました!!!
指摘してくださった注意する点に気をつけて演出やっていこうと思います！
丁寧な解答本当にありがとうございました！
置き換えなしだと
∫[0->1]√e^(1-t)dt=√e∫[0->1]e^(-t/2)dt [定数は前へ出します]
=√e[-2e^(-t/2)]|[0->1]=√e(-2/√e+2)=2(√e-1).