Question

ふわり

印のついているところはどうやって求めているのでしょうか？
よろしくお願いします

第5章 積分法
44
開数(x)をf(x)=sint-x cos tldt (x>0) とおく。
a>0のとき、a= tan0 を満たすe
(0<e<)に対して, coseをaを用いて表せ。
(x)を求めよ。
(x)の最小値とそのときのxの値を求めよ。
(熊本大)
要考のひもとき)
「)-g(t)ldt tは、 u=f(t)と u=g(t) の間で
1。
astSbの部分(右図の斜線部分)の面積を表す。
(わ5=
E)
(0<e<)とすると、0は図1
6t
a>0のとき、a= tan0
のような角であり
cos 0=
V1
x>0とする。
=sintと u=xcos t は、
0<くう
の範囲にただ1っ
1
図1
A
=x COst
交点をもつ、そのt座標を0とすると
=sint
sin0=x cos6, 0<0<エ
(0ce<号)
: x=tan0
2
図2
isint-x cos tldt は,図2の斜線部分の面積を表すから
={'(x cost- sint)dt+? (sint-xcost)dt
(sint-x cos t)dt
x sint+cost|+
cost-x sint
=2(x sin0+ cos0)-1-x
|N

ここで、(1)の結果と①より
1
cos0=
1+x
sin0=
1+x
1+x
であるから
x+1
-1-x=2·\1+xー1-x
1
F(x)=D2·
1+x
図3
2xー1+x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

冒昧

1枚目1番したの式より、
f(x)=2(xsinθ+cosθ)-1-x　です。
これに、2枚目上のsinθ、cosθを代入します。
xsinθ=(x/(√1+x^2))・x=x^2/(√1+x^2)
よって、
f(x)=2(x^2/(√1+x^2) +1/(√1+x^2))-1-x
=2((x^2+1)/(√1+x^2))-1-x
分母を有理化して、
=2(√1+x^2)-1-x
　 =2√(1+x^2)-1-x