Question

blue

数3 微分
四角で囲っているところまではわかりましたが、その後の式変形がわかりません。

-log x%= (-1)カー1(n-1)!
n
dx"
とする。
[1] n=D1のとき
1ogyes
= ogr= 右辺=(-1P.2-
d
-log x =-,
左辺=
dx
x
X
x
よって, n=1のとき,① は成り立つ。
[2] n=Dkのとき①が成り立つと仮定すると
dk
log x=(-1)*-1(k-1)!
2②
dxk
2=k+1のとき, ① の左辺について考えると,
2から
dk+1
-log x =D
d
dk
,log x
dx\dxk
dxk+1
d
k-1(k-1)!
ニ
dx
x
1(1ニ-4-1(-) -(11
k
k+1
屋!
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
七+1
[1], [2] から, すべての自然数 nについて①は
成り立つ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

こうよう

分子のふたつの項(－1)^k－1、(k−1)！は定数項なので微分されてもそのまま前に出ます。すなわち、ここでは1/x^k
の微分を行えば良いわけです。1/x^k=(x)^−k なので、定義に則して微分すれば出てきます！

blue

(x)^−k の微分ってどうやってすれば良かったでしたっけ…？すみません、頭働いてなくて💦

こうよう

x^2などの時と同じように、累乗の部分の数字を前に持ってきて、累乗の部分はそこから−1。特に合成関数などでは無いので、そのまま-kx^(-k-1)となります！そして、x^(-k-1)を分母に持ってきてやれば、()の中のとおりになるはずです！

blue

理解できました！何回もすみません💦
ありがとうございました🙇🏻‍♀️