Question

Nana

なぜ最大値のときはこんなに場合分けするんですか？

B
* 438 a>0 とする。関数 f(x)=Dx°-3a'x (0mx\1) について, 次の問いに答
えよ。
( 最大値を求めよ。
2
最小値を求めよ。
2)

438 f'(x) =3x?-3a %=D3(x?-a")
= 3(x+a)(x-a)
S'(x) =0 とすると
(1) [1] 0<a<1のとき
0SxS1において, f(x) の増減表は次のよう
x=±a
になる。
0
1
x
a
f'(x)
0
f(x)
0
-2a
1-3a?
よって,f(x) は x=aで最小値 -2a° をとる。
[2] 1Saのとき
0<x<1において, x?-a'<0であるから
f(x)<0
よって,f(x) は0<x<1で減少する。
ゆえに,f(x) は x=1 で最小値1-3a° をとる。
[1], [2] から
0<a<1のとき
x=a で最小値 -2a3
1<aのとき
(2) [1] 0<a<く1のとき
(1)の増減表から,f(x) の最大値は
x=1 で最小値1-3a°
0 または 1-3a?
(i) 0<1-3a°のとき
f(x) はx=1 で最大値1-3a’ をとる。
また, 0<1-3a’ かつ0<a<1を満たすa
V3
0<a<-
3
の値の範囲は
(ii) 0=1-3a°のとき
f(x) は x=0, 1で最大値0をとる。
また, 0=1-3a?かつ0<a<1を満たすa
S) s
V3
の値は
a=
3
(i) 0>1-3a?2のとき
f(x) はx=0 で最大値0をとる。
また, 0>1=3a? かつ0<a<1を満たすa
42
V3
-<a<1
3
の値の範囲は

916
2) 15aのとき
1)の2から、(x)は0<xs1で減少する。
よって, x) はx=0 で最大値0をとる。
以上から
0<a<のとき
エ=1 で最大値1-3a?
V3
の=のとき
エ=0, 1 で最大値0
V3
33
-<a<1, 1saすなわち
/3
3
<aのとき
33
エ=0 で最大値0

Answer 1

あやめ芽

今回の問題では、
最大値になり得る数が2つ出てきてしまうからです。

aの範囲を場合分けした後、さらに、その2つの数を場合分けする。
手順こそ多いですが問題自体はシンプルです。