Question

@??

解説の2枚目｛｝の部分をすることでαの符号を求められる理由を教えていただきたいです🙇‍♀️

(iは虚数単位)とおく。
7
2元
2元
|= cos +isin等
7
(1) 2+2°+°+z'+2+2°を求めよ、
(2) α=z+z°+z*とするとき, αta, aa およびαを求めよ.ただし, α はαの共
役複素数である。
(千葉大)
)(1-2)(1-2)(1-2)(1-2) (1-ズ)(1-2°)を求めよ。
思考のひもとき
1. 複素数z, wに対して
z+w=z+w, zw=z·W
4
2 nが自然数のとき
解答
2π
1) 0=
ととおくと, 70=2nであるから, ド·モアブルの定理を用いると
2=(cos0+isin6)?
= cOs 70+isin 70
= cos 2π+isin 2π=1
. 2=1
(Bnis
ここで,z7-1=(z-1)(2°+z+z+z++z+1) であるから, ①より
2元
2元
-+isin
7
チ
-キ1であるから, ②より
ス= COS
7
2°+2°+z*+z°+z+z+1=0
) α=z+z+zのとき
α=z+z+z
=z+2+z
=z+(z}+(z))
22=|2}=cos'0+ sin'0=1であるから, ①より
cOS
スニ
.6
=2

a=2°+z2+z4=++で (: =2で=2、 =(2·ズ=ズ)
第1章 複素数平面
となり,(1)の結果を用いて
α+Q=(z+z+z") +(2°+z°+)%=Dー1
また
aa=(z+z+z')(z+2+2°)
=(z++z+z*+z°+z)+3=2 (": (1)の結果)
そこで,解と係数の関係を用いると, α. āは
ピ+t+2=0
の2解である。
3を解くと
-1土(7i
t=
2
2k元
+i sin
7
2kn
ここで,2= cos
(kは整数)だから
7
2π
4元
+ sin
7
Im(a)= sin
+ sin
8T
2元
4元
-= sin
7
7
sin->0
+ sin
7
2元
4元
(: 0<sin号くsin, sin号>0)
7
であるから
-1+/7i
Q=
2
=-ata
(1-2)(1-2)(1-)=D1°-(++2)-1°+(2+2°+z")-1-
=-ata
(: +°+z"=z++z=a)
であるから
(1-2)(1-2)(1-2)(1-2)(1-2)(1-2)
=-(a-a)=-(a+a)*+4ca
ニ
15
=-(-1)?+4·2==7
復素数平面

Answer 1

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∵ の部分をもう少し詳しく書くと、

sin(2π/7) ＞ sin(π/7) より、
sin(2π/7) － sin(π/7) ＞ 0 ･･･①

また、sin(4π/7) ＞ 0 ･･･②

①・②より、sin(2π/7) － sin(π/7) ＋ sin(4π/7) ＞ 0
（正の数同士を足すと、正の数）

⇒ sin(2π/7) ＋ sin(4π/7) － sin(π/7) ＞ 0

となります。

@??

なるほど！ありがとうございます！