Question

野菜ジュース

268の問題で
解説の赤線部の式がどうやって出てきたのか分かりません

= ー
チー 大式S0 er
286 整式f(x) をx+5で割ると余りが-11, (x+2)? で割ると余りがx+3と
なる。このとき, f(x)を (x+5)(x+2)? で割ったときの余りを求めよ。

286
テーマ
E|余りの決定
→ Key Point 107|
f(x) を3次式(x+5)(x+2)? で割ったときの商
をQ(x), 余りをax"+bx+cとすると, 次の等
式が成り立つ。
ーモ
88S
f(x) =(x+5(x+2)°Q(x) +ax?+bx+c
(a, b, cは定数)
さらに,条件より,f(x) を(x+2)?で割ったと
きの余りがx+3 であるから, ax?+bx+cを
(x+2)? で割ったときの余りがx+3 となる。
ax?+bx+c=a(x+2)?+x+3
2 io y
すなわち
よって
f(x) =(x+5(x+2)°Q(x) +a(x+2)?+x+3
剰余の定理により, f(-5)=-11から
a(-5+2)?+(-5)+3=-11
これを解くと
よって,余りは
1OAO- (x+2)?+x+3=-x?2_3x-1
a=-1
089

剰余の定理

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

HS

前2行に書いてあることから出てきます。
ax²+bx+cを(x+2)²で割ったときの余りがx+3だから
ax²+bx+c = (x+2)²× Q₁(x) + x+3

右辺はQ₁(x)に2次式(x+2)²と掛けて
1次式x+3を足したもの。
これが左辺ax²+bx+cに一致するから、
Q₁(x)は定数。
定数Q₁(x)と(x+2)²を掛けてax²+bx+cになるので
定数Q₁(x)はa。

よってax²+bx+c = (x+2)²× a + x+3
と表せる。

野菜ジュース

アンサーありがとうございます！
Q(x)にxが入ると右辺と左辺のxの次数が合わなくなりますもんね🤔
そしてx²の係数を合わせるために(x+2)²にかけられたQ(x)がaになるということですね！
丁寧な解説本当にありがとうございます(*^^*)

HS

式が面倒なので整数の割り算で例えます。

100を30で割ると商3、余り10。
100 = 30×3 + 10

100を6で割った余りは4ですが、これは
30×3 + 10を6で割った余りに等しく
30×3は6で割り切れるので、
10を6で割った余り4に等しい。

野菜ジュース

具体的な例で説明していただきありがとうございます！
確かに同じになりますね！
度々ありがとうございます！