不等式 mx² + 4x + m－3 ＞ 0

Question

不等式 mx² + 4x + m－3 ＞ 0
が常に成り立つように、定数mの値の範囲を求めよ。

この問題の解き方をお願いします。
ちなみに答えは m ＞ 4  です。

としさん · Accepted Answer

f(x) = mx² + 4x + m - 3 > 0 で
　m < 0 だと f(x)は　上に凸の２次曲線。
　m = 0 だと f(x)は　直線
　m > 0 だと f(x)は　下に凸の２次曲線
　　となります。

(i) m < 0 のとき　上に凸の２次曲線なので、f(x)＜０となるxが必ず存在します。よって不適。

(ii) m = 0 のとき f(x) = 4x - 3 となるので、 x < 4/3 であれば負になってしまいます。よって不適。

　　よって、少なくとも m > 0 でなければならないことが判ります。

(iii) m > 0 のとき下に凸の二次曲線なので f(x) = 0 の解無しとなれば常に f(x) > 0 となります。

　　判別式 D/4 = 2² - m(m - 3) = -m² + 3m + 4 < 0

　　m² - 3m - 4 > 0 としてmの範囲を求めると

　　　　m² - 3m - 4 = (m - 4)(m + 1) > 0 なので、 m < -1 or m > 4 である。

　　ここで、 m>0 であるとしたので　m < -1 は不適となり、 m>4 のみ条件を満たします。

∴ m > 4

もやし · Answer

mx²+4x+m-3=0の判別式をDとすると、
D/4=4-m(m-3)
(1) m>0のとき、題意よりD<0なので-m²+3m+4<0 ⇔ m²-3m-4>0 ∴ m<-1,4<m　m>0より、m>4
(2) m<0のとき、題意よりD>0なので-m²+3m+4>0 ⇔ m²-3m-4<0 よって解なし
以上より、求めるmの範囲はm>4

余計なことしてるかもしれないです……