Question

tkhsre

なせここの問題は最小値を利用して解くのですか？

指針> この問題ではxの変域に制限があるから,例題113 と同じように考えてはダメ!
|0SxS8のすべてのxの値に対して, 不等式x?-2mx+m+6>0が成り立つよ
CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連づけて考える
D0
こうな
うな定数 m の値の範囲を求めよ。
な定
【類奈良大)
基本 79
29
そこで、問題をグラフにおき換えてみると,求める条件は
「0<xS8の範囲で y=x°-2mx+m+6のグラフがx軸より上側にある」
ということ。これを(区間内の最小値)>0 と考えて進める。
20
解答
求める条件は,0ハxS8におけるf(x)=x°-2mx+m+6の最
小値が正となることである。
f(x)=(x-m)°-m"+m+6であるから,軸は 直線x=m
[1] m<0のとき, f(x) はx=0で最小
となり,最小値は f(0)=m+6
f(x)=x?-2mx+m+6
(0SxS8) の最小値を求め
る。→p.130 例題 79 と同
様に,軸の位置が区間
0SxS8の左外か,内か,
右外かで場合分け。
よって m>16
この実
つと
ゆえに m+6>0
[1] 軸は区間の左外にあ
るから,区間の左端
(x=0)で最小となる。
m<0であるから(*)
[2] 0SmS8のとき,f(x) はx=m で最
小となり,最小値は
-6<m<0
m
の実
V 8 X
[2] 軸は区間内にあるか
ら,頂点(x=m)で最小
が常
f(m)=-m'+m+6
-m'+m+6>0
すなわち m°-m-6<0
これを解くと,(m+2)(m-3)<0から
となる。
じ。
[3] 軸は区間の右外 にあ
るから,区間の右端
(x=8)で最小となる。
| ゆえに
また
同じ
0m8
0と
-2<m<3
(*)場合分けの条件を満た
すかどうかの確認を忘れずに。
[1], [2] では共通範囲をとる。
0SmS8であるから (*)
0Sm<3
13] 8<mのとき, f(x) はx=8で最小
となり,最小値は f(8)=-15m+70
14
ゆえに,-15m+70>0から m<
m
0
8し
3
これは8<m を満たさない。
求める m の値の範囲は,①, ② を合わせて
-6<m<3
合わせた範囲をとる。
f(x)の符号が区間で一定である条件
区間でf(x)>0→ [区間内のf(x) の最小値]>0
区間でf(x)<0→ 【区間内のf(x)の最大値]<0
POINT
店」

Answer 1

マッハ

グラフの形を見てもらうと分かりますが、最小値の値が分かれば他の点も決まりますよね。逆に最大値はと言われると上まで永遠に伸びてるのでどこを取るか求めることは出来ません。

tkhsre

なるほど！
また、なぜ区間内の最小値>0を計算しなきゃいけないのですか？

マッハ

最小値が>0ならそのグラフは0より大きいと言えるからです

tkhsre

0より大きいというのは、定義域の範囲のグラフ'が'ってゆうことですか？

マッハ

ですね

tkhsre

もし、不等式＜0が成り立つようなmの範囲を求める問題の場合は、最小値＜0を最後に計算するのですか？

マッハ

順番はどこでも大丈夫でふ