Question

I.

至急です！
数Bの数学的帰納法の証明問題です。
できるだけ詳しく教えてください！

1数学的帰納法を用いて, 次の等式を証明せよ。
1-3+2.4+3.5+
+n(n+2)
1(2n+7)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ムッシュ熊夫

数学的帰納法は
n=1のとき、
n=kのときが成立すると仮定し、
n=k+1のときをそれぞれ考えるだけです。

(解説)

n=1のとき
(左辺)=1×(1+2)=3
(右辺)=1/6 ×1×2×(2+7)=3
よって、n=1のとき成立する。

n=kのとき成立すると仮定すると
1×3+2×4+…+k(k+2)=1/6 k(k+1)(2k+7)…①

n=k+1のとき
(左辺)=1×3+2×4+…+k(k+2)+(k+1)(k+3)
①より
=1/6 k(k+1)(2k+7)+(k+1)(k+3)
=1/6 (k+1){k(2k+7)+6(k+3)}
=1/6 (k+1)(2k²+7k+6k+18)
=1/6 (k+1)(2k²+13k+18)
=1/6 (k+1)(k+2)(2k+9)

また、n=k+1のとき
(右辺)=1/6 (k+1)(k+2){2(k+1)+7}
=1/6 (k+1)(k+2)(2k+9)

以上よりn=k+1のとき、(左辺)=(右辺)となり、成立する。

よって、全ての自然数nについてこの式は成り立つ。

I.

ありがとうございます！

ただどうしても、n=k+1のとき
(左辺)=1×3+2×4+…+k(k+2)+(k+1)(k+3)が、
=1/6 k(k+1)(2k+7)+(k+1)(k+3)になるところが分からないです…

どうしたら、そのようになりますか？

ムッシュ熊夫

①の式を見てください！

I.

ようやく理解できました！
本当にありがとうございます！！

ムッシュ熊夫

数学的帰納法は、n=k+1を考える時、ほぼ全てがn=kのときを利用します！n=kのときの形を作るように意識したら解きやすいです！