Question

ふぃり

数学得意な方、どうぞ宜しくお願いします。

ス>oならばあるにフいてスソフ0。(4版)
あるさについてえりフ0ならは ス>0。 /母)
|ス全0ならはすべてのにおいてス全o。果)
すべての当においててY£oならばスぎ0 。(対間)
(対間)
1 毎頭と対開の真傷か致なことは分かります。
しかしなぜ対傷か真、逆加筒になるのかか
分かりません。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

もち

命題論理で，その対偶に当たるものは真偽が同じになりますね．与えられた命題が真であることは自明なので，当然対偶も真になるわけです．

「逆」について，反例はx=-1, y=-1などが挙げられると思います．
これは「あるyについてxy>0」が真なのに対し，「x>0」が偽であるから，逆は成り立たないことがわかります．

「逆」に対しての対偶は「裏」であるので，逆と裏の真偽は一致するはずです．調べてみると，先に挙げた反例(x=-1, y=-1)で同様に偽であることが示せますね．

対偶について調べてみましょう．先に述べたように，命題が真であることから，対偶についても真になるはずです．
「すべてのyにおいてxy≦0」となるようなxについて考えると，これはx=0のみですね(xが負だとyが負のとき成立しないし，xが正だとyが正のとき成立しない)．
ここで，結論は「x≦0」なので，x=0は真ですね．つまり対偶も真であることがわかります．

ふぃり

対偶で当てはまらない場合があっても０のように例が一つあれば真といえるのですか？
返信おくれてすみません！！

もち

対偶に反例が1つでも有れば，対偶は偽となります．反例がなければ対偶は真です．

また，命題論理では「P→Q」という命題について，「P＝(偽)」というときは「P→Q」を真とすることになっています．また，「P＝(真)かつQ＝(真)」というときも「P→Q」は真です．逆に，「P＝(真)かつQ＝(偽)」というときは「P→Q」が偽となります．つまり，問われた命題の中に「P＝(真)かつQ＝(偽)」の事象が一つでも含まれれば，「P→Q」は偽です．

今回の問題の対偶でいうと，
P＝「すべてのyにおいてxy≦0」
Q＝「x≦0」
ですね．以下にこの問題の対偶が恒等的に真であることを示してみます．

(1)x<0のとき，Pはy<0で成立しないので，偽です．上に書いたとおり，P＝(偽)のとき，「P→Q」の命題は「真」です．
(2)x=0のとき，yにどんな数を入れてもxy=0なのでPは真ですね．このとき，Qはx=0を含むのでQも真です．P＝(真)，Q＝(真)なので，この場合も「P→Q」の命題は「真」です．
(3)x>0のとき，Pはy>0で成立しないので，偽です．P＝(偽)のとき「P→Q」の命題は「真」です．

(1)〜(3)より，xの実数全ての範囲について「P→Q」が真であるので，この命題は恒等的に「真」となります．

分かりにくくて理解できないところがあったら言ってください！

ふぃり

とても分かりやすいです！「P＝(偽)」というときの「P→Q」を真とすることを初めて知りました…（笑）本当にご丁寧にありがとうございました！