Question

𝓡𝓲𝓸︎︎‪

(2)で、
1≦1＋x^4≦1＋x^2が
どのようにして出てくるのか分かりません。
教えてください！

定積分と不等式
Style
34
(1)定積分)。1+x?
1
dx を求めよ。
20
(2) 不等式-<
1
dx<1を示せ。
π
4
1+x*
【静岡大)
解
1
-d0
Cos0
key 置換積分法
(1) x=tan0 とおくと dx=
0→ 1
x
x=tan0 とおくと
0→4
π
1
よって )。1+x°
「 dx
0
1
-=cos'0
1+tan'0
π
Tπ
Tπ
1
が利用できる。
1
-d0= d0=
4
4
π
答
ニ
ニー
Jo 1+tan?0 cos'0
(2)(0SxS1のとき,1<1+x*<1+x° が成り立つ。
key a<x<bで
f(x)2g(x)で,常には
f(x)=g(x) でないとき
1
1
ゆえに
1+x?
-ハ
1+x*
S1
よってS 4
1
dx<
ds<S,de
dx>
1+x?
1+x*
1
-dx<1 終
1
dx
x|=1 であるから く)。I+x*
cC

積分法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

0<×<1 x⁴≦ײの関係を使ってる。
この両辺+1してるだけ。

𝓡𝓲𝓸︎︎‪

x²は、(1)で出てきたから
使っているのですか？

哲治

0<x<1 1/(ײ+1)≦1/(×⁴+1)(≦1)
だからこれを両辺積分したものも
∫1/(ײ+1)≦∫1/(×⁴+1)≦(∫1)
π/4≦∫1/(×⁴+1)≦1
としてるだけ。

𝓡𝓲𝓸︎︎‪

すみません、
積分をするところは分かるのですが、
それ以前のところが分かりません。

なぜx^2≦x^4の関係を使っているのですか？

哲治

二番目で∫1/(×⁴+1)は難しいから、簡単な∫1/(ײ+1)と∫1で不等式評価するため

𝓡𝓲𝓸︎︎‪

ありがとうございます。
分かりました。