Question

りらん

1枚目の？と2枚目の？の部分教えて欲しいです。

よろしくお願いします🙇‍♀️

どちりも2
(2)△
例題264 ガウス記号を含む式の値(3) △
CU
実数xに対して, x以下の最大の整数を[x] で表す。
<x<5のとき, -号は」の値を求めょ。
14
3
(2 すべての実数x について, ×-x]| =
0 を示せ。
nを正の整数とする。実数x について,
の値を求め
よ。
(早稲田大)
(R®Action ガウス記号は, nSxくn+1 のとき[x]=n としてはずせ
幅2ごとに値が変わる
一般にこの部分で考えてみる
260)
-2 -1 0 12 3
4
|2k 2k+1 2k+2
幅1ごとに値が変わる
(ア)(イ)
0-1
a-18+
=0 と予想する。
前問の結果の利用
(2)より,
CAI
(2) では, 2k Sx< 2k+1, 2k+1<x<2k+2 と分けて考えたように,
(3) では, nk sx< nk+1, nk+1<x< nk+2, …, nk+n-1<x<nk+n
と分けて考える。
14
<xく5 のとき
3
解(1)
ようのは残会
2<く要より []一2
また。[x] =4 であるから -|=1
3
15
2く-xく
7
14
くxく5 の辺々に
3
を掛けて 2<
14
= 4.6… である。
3
よって、[-[]
=2-1=1
14
くxく5 のとき
3
(2) kを整数とする。
(ア) 2k Sx<2k+1 のとき
[x]= 4
2tくん+
2
1
より
kく
= k
また。[x] = 2k であるから - ] =k
= [k] =Dk
[-[]-ーk=0
(イ) 2k+1Sx< 2k+2 のとき
1
1
k+
S
2
くん+1より []-
= k
また,[x] = 2k +1 であるから
思考のプロセス

nk + mSx<nk+ (m+1) (m= 0, 1, , n-1)
(ア),(イ)より,すべての実数 x について
k+
=k
よって
=k-k=0
= 0
(3) &を整数とする。
のとき
1
-x<k+
n
m+1
より
m
k+
n
=k
また,[x]= nk+ m であるから
10s
<1
m+1
0S
S1
m
k+
= k
n
よって,すべての実数 x について
= k-k=0
n
(別解)
[*]
「×=&(eは整数) とおくと
「x] = k, k+
kミxくk+1
2k Sx<2k+2 より
[x]= 2k, 2k+1
S
よって -。
1
2
ゆえに[]-
=Dk
ふ 3=k+のとき
=k
したがって -|]| = -k=D0)
=k(k は整数)とおくと
k<-x<k+1
n
だん
-x
nk Sx< nk+n より
[x]= nk, nk+1,
4nk+nは含まず、 1つ前
の nk+n-1まで含む。
nk+n-1
1
n-
-[x]=D k, k+
6 Hl-
n
n
ゆえに
= k
ミ
L

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぽっきー

[x]＝kとおくと
k≦x<k＋1

これを利用して,[x/2]＝kとおくと
k≦x/2<k＋1
2k≦x<2k＋2
ここで[x]＝2kまたは2k＋1となるので
2k≦x<2k＋1または2k＋1≦x<2k＋2として場合分けをしているのが解答に当たります。

2つ目の質問に関してはガウスの定義からです。
[x]とはxを超えない最大の整数つまりxの整数部分
(1/n)[x]の整数部分は何だろうというのを考えればそれはkというのが分かると思います。

りらん

(1/n)[x]の整数部分は何だろうというのを考えればそれはkというのが分かると思います。→この部分いまいち理解出来ませんでした、、、もう少し優しく噛み砕いて教えてもらえると嬉しいです🥲

よろしくお願いします🙇‍♀️

ぽっきー

(1/n)[x]＝k,k＋(1/n),...,k＋(n−1)/n
ここでkは整数,nは整数より
1/nから(n−1)/nまではすべて1より小さい小数である
(つまり,0.2とか0.5とかの小数ということ)
これを踏まえてガウスをとればそれはkということになるというわけです。

りらん

k+0.1、k+0,2とかになっているから、ガウスをとればkになるって解釈であってますか？

ぽっきー

そうです。kが3とかいう具体的に数を取ったとしましょう。
3.1,3.2,3.3,...,3.9などはガウスをとればガウスの定義から全て3になります。

りらん

理解出来ました！！
沢山質問答えてくださりありがとうございました🙇‍♀️
また教えてもらえると嬉しいです☺️