Question

しんころ

（2）で、p<qとしたら、分母がマイナスとなり、（1）でいうnの部分が自然数ではなくなるのですが、どう考えたら良いですか？
また、（3）でlog（2の3）を何で挟めば良いかは、どのように考えたら良いですか？（3）の答えは3枚目です。

(1) log23=
m
を満たす自然数 m, n は存在しないことを証明せよ。
-
n
(2) p, q を異なる自然数とするとき, plog23と qlog23 の小数部分は等しくないこと
を証明せよ。
(3) 1og23の値の小数第1位を求めよ。

p3-を満をす自然数m.nが在すみと仮定する。
(なわち、有理数であると仮定するっ)
m
m
gy 3=
2
2M:3
左児は偶数であるる有皿は奇数であり、権する。
したがって、今ろにを満た自然散m,n(は存在しない。
(2) Pta.P:B自然故
Ppp3と Butgs の小数部分が等しいと仮定する。
2枚の差が整数とななので
を3-ル03-α(水は塗部)とちける。
(P-8) pp3-ん
?7fのとき 1gう
a
(: P#ャ)
-a
p<aのときも同標
(リより、1pるとっを満自然数み、たなは存在しないい
7-h
したやらて、P1g2ろを良Agうの小教部向は等しくない。
V3の整故期分はしであるので、小教架的は
gp3-1-1g23-pp
gチー2
141
11
0.5
15.
うく35c6
2 C22 <f 154yく

(解)2323FV App2?<1q232
C
下し.3<2pp3
ie.1.5< y23…②
3く2fまり pく分
T-ル.5m3<8
2
T-e.
y 3く1,6…の
15( 3 cl16 でありやら
3の小教第(修は5
3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

零

(2)場合分けで引き算を変えればいいです。
p＞qのとき、
plog₂3-qlog₂3=α(αは自然数)
p＜qのとき、
qlog₂3-plog₂3=β(βは自然数)
log₂3=β/(q-p)
(1)より、矛盾する。
(3)正攻法は、しんころさんのように、
n/10＜log₂(3/2)＜(n+1)/10
となるnを見つけるというものになるでしょう。
n＜10log₂(3/2)＜n+1
n＜log₂(3/2)¹⁰＜n+1
n＜log₂(59049/1024)＜n+1
2ⁿ＜57.665＜2ⁿ⁺¹
2¹=2,…,2⁵=32,2⁶=64,…より、
条件を満たすのはn=5であり、
5/10＜log₂(3/2)＜6/10
0.5＜log₂(3/2)＜0.6
0.5＜log₂3-1＜0.6
1.5＜log₂3＜1.6
とできなくもありませんが、めんどくさいですね。
できるだけ省エネでいきたいので、楽なものから始めて絞り込みます。
a＜log₂3＜b
a,b=1.1~1.9の候補があります。ただし、小数はめんどうですから、分数を使うといいでしょう。
m/n＜log₂3
m＜nlog₂3
2ᵐ＜3ⁿ
または、
log₂3＜m/n
nlog₂3＜m
3ⁿ＜2ᵐ
となりますから、m/nとlog₂3の大小関係を調べるには2ᵐと3ⁿの大小関係を調べればいいということであり、これはまあまあ簡単です。
1.5=3/2について調べたいときには、
3²と2³の大小関係を調べればいいわけで、
2³＜3²より3/2＜log₂3ということがわかります。
次の1.6=8/5については
3⁵＜2⁸よりlog₂3＜8/5
となります。結構やっかいな問題ですね。

しんころ

返信が遅くなり、すみません。
詳しく教えて下さりありがとうございます。理解できました。
質問というか相談なのですが、二次試験の文系数学が90分で3題あり、6割ほど取れないと厳しいと思います。いつもは始め5分で3題全ての方針を立ててから解いています。初手が分からない問題が時々出てくるのですが、そういう時はどうすれば思いつくことが出来ますか？
本当に毎回助かっています。いつもありがとうございます。

零

初手がわからないときには、
①具体例から考える
②関係を整理する
③法則を見つける

log₂3の小数第一位を求めよ。
①具体例として、小数第一位が3の場合を考える。
②整数部分が1である実数xの小数第一位が3となる条件について考えると、xについて成り立つ関係式は、
1.3≦x＜1.4
③整数部分について1→aと一般化し、小数第一位について3→nと一般化すると、
整数部分がaである実数xの小数第一位がnのとき、
a+n/10≦x＜a+(n+1)/10
が成り立つ。

具体例→一般化(数字を文字に変える)ができると、より広く対応できるようになります。

あとは、
・分解してそれぞれで考える
・決め手となる条件を取り出して考える
・答えから逆算して必要なものを考える
などです。

基本の知識から出発して、解法を思いつく自然な流れを自分なりに作っておくといいでしょう。

しんころ

ありがとうございます☺️
教えて下さった手順を意識して考えるようにします。本当に数学できて尊敬してます！これからもよろしくお願い致します。

零

二次試験まであと少しですね。不安なところがあれば何でも聞いてください。最後まで全力で応援したいと思っています。

しんころ

嬉しいです！！二次試験まであと少し頑張ります。

Answer 2

はまはま

(2)なんというか、
p＞qのとき、p-q＞0
q＞pのとき、q-p＞0
(p-q)のときと(q－p)のときで考えてるってことちゃう？
ごめん通じらんかも……

しんころ

分かりました。ありがとうございます。