Question

ほんだのばいく

不等式の成立条件を求める問題です。
Practice197の解答の[1]で、2/3a≦1 すなわち a≦3/2 という部分です。なぜ2/3a≦1にするのかが理解できません。
その前の例題では2/3p≦0となっているのですが、、

重要例題
PRACTICE …197® x21 を満たすすべてのxに対して, 不等式 x°_ax"+2a°>0
不等式の成立条件 ①関 8 OOOO0
295
よ。
【類慶応大)
「基本196
CHART
flx)=x°- Dx°+32 として, Lx20 における f(x) の 最小値]20 となる条件を
OLUTION
求める。
(x)=3x°-2px=3x(x-か)となり, f(x)=0 とすると x=0, そか
3.x
0とそかの大小により, 最小値をとるxの値が異なるから場合分け。 !
解答
{x)=x°-x°+32 とすると f'(x)=3x-2px=3x(x-4か)
3
コ)
F(x)=0 とすると
2
x=0,
ノン
fo s
かく0
=0
かS0 すなわち pS0 のとき
ー1
x20 において, 常に f'(x)20 が成り立つ。
よって,x20 の範囲でf(x) は常に増加する。
f(0)=32>0
0x
3p
i0
また
*x20 における f(x) の
最小値はf(0)
ゆえに,x20 のとき常に f(x)20 が成り立つ。
2
2] 0< すなわち カ>0 のとき
0<か
x20におけるf(x)の増減表は右
2
x
0
3
i0
3p
2
のようになり,f(x) は x=-
3Dで
極小,かつ最小となる。
6章
f(x)
f(x)
0
極小
*x20 における f(x) の
から
その値は --+32
最小値は)
4
22
よって, x20 において常に f(x)N0 となるための条件は
がー8-27<0
方が+3220
*がー6°<0
よって
ゆえに
が<6°
p>0 であるから
0<pS6
来めるかの値の範囲は, [1], [2] から
pS6
a
関数のグラフと方程式·不等式一

PR
の197
x21 を満たすすべてのxに対して, 不等式 x°ーax"+2a°>0 が成り立つような定数aの値の
範囲を求めよ。
f(x)=x°-ax"2+2α° とすると
る
の
さ 0
2
やで五-f(x)33x°-2ax=3x(x-
3
2
f(x)=0 とすると
x=0, -a
0<
2
3
[] as1 すなわち as; のとき
さ
3
2
x21 において, 常に f'(x)>0 が成り立つ。
よって、x21 の範囲で f(x) は常に増加する。
ロx21 におけるf(x)の
最小値は f(1)

245
また 0-1-a+2"=2(a-4+}>0
f(1)=1-a+2a'=
7
本も
-V0
ゆえに、x21 のとき常に f(x)>0 が成り立つっ。
[2 1<-a すなわち
3
-<a のとき
2
x21 における f(x) の増減表
は右のようになり, f(x) は
2
x
1
30
=-a で極小,かつ最小とな
2
f"(x)
0
30
ロx21における f(x)の
る。その値は
f(x)
極小
最小値はの
4
+(ロ-()ロ
α"+2α°
-a+2α°
27
3
8
よって, x21 において常に f(x)>0 となるための条件は
三
27°
a
6章
ゆえに2(1-20
4
ー+2a>0
2a1
a>
PR
a>0 であるから
1-
a>0
27
a>であるから<a<
くのく
27
2
き sる
27
3
3
aく
2
a
よって
2
2
27
求めるaの値の範囲は, [1], [2]から
aく
2

微分