Question

Lee

このやりかたではいけないのでしょうか？

69
A
a
E
C
a Ba
AABC- ライx2
C
3?
2
a
こ
2
aura3.5
xaxrxう ='89
2
そar- a
r-x
2
メ bー=
724
-a
a
A

表面積は
4元·(、2)=8元
そS=4πr
練習 1辺の長さがaの正四面体に球が内接している。
0169 (1) 球の半径をaを用いて表せ。
(2) 正四面体と球の体積比を求めよ。
A
00
(1) 右の図のように,正四面体の
頂点をA, B, C, Dとし,
球の中心を0とする。
球と △BCD の接点をHとすると,
3点A, O, Hは1つの直線上に
ある。
BH はABCD の外接円の半径
であるから,正弦定理により
すHINT (1) 四面体の各面
を底面とし,球の中心を
頂点とする四面体の体積
を考える。
A
AA
a
0.
D
B
H
a
る0く0,0<
C
の る

3二12 るを 一
158一数学I
(08
そABCD の外後円の
径をRとすると
MA a
-=2R
0a sin60°
a
a
BH=
2sin60°
V3
AHIBH であるから
V6
2
a
各ノーの
a
3
a?.
00nieb
MA E
体PAREの監面と
ニ
AH=VAB°-BH° =
1
また ABCD=
V3
a?
a'sin60°=
4
して、その
よって,正四面体の体積をVとすると
V6
V-ABCD-AH=
1.3,2.0a-
V2
a 。
1
3
V=-
ABCD·AH=
3
4
球の半径をrとすると, 四面体OBCD の体積は
1 V3
bK=DV<9D 30.%3D2416
13
-a.r=
12
△BCD·r=
3
a'y
正放定
により
3
4
ここで,4個の四面体 OBCD, OCDA, ODAB, OABC の体積一全3辺の長さが与えられ
た三角形の内接円の半径
を求める方法と考え方は
同じ。ここでは、
V3
はいずれもa'rで, これら4個の四面体の体積の和は V
中円の面。
単円ケ面
12
に等しいから ー
-a'r·4
12
r
Vー
3
=;(ABCD+ACDA
12
銀円
V2
V6
+ADAB+AABC)
ら
と考える。
したがって
ア=
a=
a
4/3
12
MgGAV=MA
期面
(2)(1) から, 正四面体の体積は
V2
a°
12
川の
MA· -2
4
4
-Tr
3
V6
(6
3
また,球の体積は
3
三
3
-Ta
ニ
216
V2
よって, 求める体積比は
:=18:3
-Ta=18: V3 Tπ
216
そ正四面体は球の約3.
倍の体積をもつ。

Answer 1

いおり

質問者さんの図の場合、球OがΔABCに張りついており、円のようになっています。
しかし、実際は球であるので、ΔABC上には、そのままでは表すことができません。
よって模範解答では、体積のまま処理をしています。
今回は、立体のままの方が、考えやすかったですが、質問者さんのように、平面に表すと見えやすくなることもあるので、その力も大切にするといいと思います！