Question

清羽

(問1)√3が無理数であることを用いて、次の命題を証明せよ。

2√3−1は無理数である。

(解答)2√3−1を有理数と仮定して、2√3−1＝a(aは整数)とおく。
2√3−1＝a
2√3＝a＋1
ここで、a＋1は有理数であるため、2√3−1＝aは矛盾している。よって、2√3−1は無理数である

この解答は丸になりますか？

命題

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

冒昧

最初のやつは、
2√3=a(aは"有理数")
ですね

あと、
ここで、a+1は有理数、
問題文より√3は無理数だから2√3も無理数

とかですかね？

清羽

なるほど、つまり
(解答)2√3−1を有理数と仮定して、2√3−1＝a(aは有理数)とおく。
2√3−1＝a
2√3＝a＋1
ここで、a＋1は有理数であり、問題文より√3は無理数だから2√3も無理数のため、矛盾している。よって、2√3−1は無理数である

みたいな感じですか？
解答有難うございました！

冒昧

はい！

冒昧

追加で、
2√3=a+1
√3=(a+1)/2

この式の左辺は条件より無理数
右辺は有理数となり反するため、2√3-1は無理数である
のほうがいいですね

今思いつきました

Answer 2

冒昧

適切かは分かりませんが、

2√3-1を有理数と仮定すると、
2√3-1=q/p(q,pは整数)と表せる。
ここで、
2√3=q/p+1
√3=q/2p+2
これは条件の√3が無理数であることに反するため、
2√3-1は無理数である

とかの方が確実な気もしますね