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いくつかSnを計算してみましょう。
S2=1×2=2
S3=1×2+1×3+2×3=11
S4=1×2+1×3+1×4+2×3+2×4+3×4=35
ここで、S2,S3,S4の計算式を見比べてみると、S2→S3で"1×3+2×3"が、S3→S4で"1×4+2×4+3×4"が増えていますね。(ここに気づけるかがカギ)
ということは、一般にS(n-1)→Snで、n(1+2+…n-1)だけ増えるんじゃないかと予想できるわけです。
実際、Snの定義を考えると、S(n-1)→Snと変わった時に、新たにnという数字が加わって、nと1~n-1までのそれぞれの積が加わるので、この予想はどうやら正しそうだと分かります。
これに従って、Sn-S(n-1)=n(1+2+…+n-1)という漸化式を立てれば一般項が求まると思います。
まず、S1をどう定義するか少し迷いますが、ひとつもかけるペアがないということでS1=0としていいでしょう。この定義なら漸化式も成り立ちますし。
さて、1+2+…+n-1=1/2×n×(n-1)だから、
Sn-S(n-1)=1/2×(n^3-n^2)です。
従って、
Sn
=(Sn-S(n-1))+(S(n-1)-S(n-2))+…+(S3-S2)+(S2-S1)+S1
=Σ[k=2→n]｛1/2×(n^3-n^2) +S1
= Σ[k=1→n]｛1/2×(n^3-n^2)｝-｛1/2×(1^3-1^2)｝+S1
= Σ[k=1→n]｛1/2×(n^3-n^2)｝
となります。
ちょっと打ち込むのが面倒なので、最後の答えはn^3とn^2の和の公式を使って出してみてください。n=1~4位まで代入してみて、最初の実験で出した値と答えが一致すれば多分合ってます。
なるほど、ありがとうございました！
なるほど、そこまでは理解できました！
でもその先どのように漸化式を解くのかわかりません。
左辺の(1+2+…+n-1)をシグマで表すなどしてみても解けませんでした。
教えてくださると嬉しいです。