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(1)m＝nのとき、解と係数の関係よりα+β=m,αβ=m
よって、αβ-α-β=0 ∴(α-1)(β-1)=1 α,β(α≦β)は整数より、α-1,β-1も整数であるので(α-1,β-1)=(1,1),(-1,-1) ∴(α,β,n)=(2,2,4)(∵α=β=0のとき、n=0となり、不適)また、3m=2nのとき、n=3m/2
よって、解と係数との関係からα+β=m,αβ=3m/2
ゆえに、αβ-3α/2-3β/2=0 ∴(α-3/2)(β-3/2)=9/4
∴(2α-3)(2β-3)=9 α,β(α≦β)は整数より2α-3,2β-3も整数であるので(2α-3,2β-3)=(1,9),(3,3),(-3,-3),(-9,-1)
ゆえに(α,β,n)=(2,6,12),(3,3,9)
(2)pm=5nから、p=5n/m m=nのとき、p=5となり、この時、(1)からα=β=2となり、条件を満たす。
次にp=2のとき、5n=2m すなわち、n=2m/5となる。よって、αβ-2α/5-2β/5=0 (α-2/5)(β-2/5)=4/25
∴(5α-2)(5β-2)=4 ∴(5α-2,5β-2)=(1,4),(2,2),(-2,-2),(-4,1) しかし、これを満たす整数α,βまたは、自然数nは存在せず、不適。次にp=3のとき、3m=5nとなり、(5α-3)(5β-3)=9不適。次にp=7のとき、7m=5nから、n=7m/5ゆえに、(5α-7)(5β-7)=49 不適。p=11のとき、同様にして(5α-11)(5β-11)=121不適 。以上よりp=q(q＞5の素数)のとき、(5α-q)(5β-q)=q^2となり、(5α-q,5β-q)=(1,q^2),(q,q)(-q,-q),(-q^2,-1)∴(5α,5β)=(q+1,q^+q)したがって、qは5で割って4余る素数であることがわかり、小さい方から、q=19,29よって、題意を満たす素数pは小さい方から、p=5,19,29
2時間かけてやったから、間違っているかもしれん！