Question

𝓥

教えてください🙇‍♂️

5 【II型共通選択問題】 (配点50点)
mn は正の整数とし,xの2次方程式
x2-mx+n=0
を考える.
(1) (*) が2つの整数解 α,β (α≦β) をもつとする.
(i) m=n のとき、 α, B,nの値を求めよ.
...(*)
◆
(ii) 3m=2mのとき, α, B, n の値を求めよ.
(2) 素数の定数とする.
pm=5nが成り立ち, (*)が2つの整数解α,β (a≦β)をもつようなm, nが
存在する素数を小さい方から3つ求めよ.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

えだか

(1)解と係数との関係から
α+β=m、αβ=n
(i)条件より
n=α+β=αβ
αβ-α-β=0
(α-1)(β-1)=1
これを満たす整数α、βは、(α,β)=(0,0),(2,2)
α=β=0のとき、m=0
mは正の定数より不適
α=β=2のとき、m=n=4>0より適する
∴α=β=2、n=4

(ii)(i)と同様に進めると、
3(α+β)=2αβ
2αβ-3α-3β=0
4αβ-6α-6β=0
(2α-3)(2β-3)=9
これを満たす整数α、βは(α,β)=(-3,1),(0,0),(2,6),(3,3)
(α,β)=(-3,1)のとき、
m=………
(あとは(i)と同じく確認作業なのでここまでにします)

(2)も出来たらまた上げます

えだか

(2)(1)と同様に進めると
p(α+β)=5αβ
5αβ-p(α+β)=0
25αβ-5p(α+β)=0
(5α-p)(5β-p)=p²　……①
①を満たすα、βとは、
(5α-p,5β-p)=(-p²,-1),(-p,-p),(1,p²),(p,p)
のいずれかである(∵α≦β)
ここで、α+β>0かつαβ>0ならばα>0かつβ>0
∴5α-p>-pかつ5β-p>-pなので
(5α-p,5β-p)=(1,p²),(p,p)
となる。
(α,β)={(p+1)/5,p(p+1)/5}……②
または
(α,β)=(2p/5,2p/5)……③
②③の少なくとも一方が、α,βが共に整数となるような素数pを探すと、pは小さいものから、
p=5,19,29となる（答）

𝓥

ありがとうございます😊