Question

まい

線を引いたところの、計算の仕方がわからないので教えてください！

47 数学的帰納法
47-A
nを自然数とするとき
1・1+2・2+3・2°+4・2°+..+n・2"= (n-1)・2"+1
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示そう。
(i) n=1のとき
(左辺)=1・1=1, (右辺)=(1-1)・2'+1=1
となり (*)が成り立つ。
(i)n=kのとき (*)が成り立つ,すなわち,
1・1+2・2+3・22+4・2+..+k2ki=(k-1)・2'+1
が成り立つと仮定する。
n=k+1 のときの(*)の左辺は
1・1+2・2+3・2°+4・23+..+k2k-14
+ 19 20 2
-1)+ (8 + 1)-2
(+1)
n=k+1のときの(*) の右辺は
KA ウ -1}.2+日+1=25++ イ
よって,n=k+1 のときも(*)が成り立つ。
(i), (ii)から, すべての自然数について(*)が成り立つ。
4分 解答 P.104
(*)
k.2k+1+1
解答 P.104

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

AZ

１・１＋２・２＋３・２²＋・・・＋ｋ・２ᵏ⁻¹＝（ｋ－１）・２ᵏ＋１を代入して、
（ｋ－１）・２ᵏ＋１＋（ｋ＋１）・２ᵏ
＝２ᵏ｛（ｋ－１）＋（ｋ＋１）｝＋１
＝２ᵏ・２ｋ＋１
＝（２ᵏ・２）ｋ＋１
＝ｋ・２ᵏ⁺¹＋１

まい

上の式を使えばよかったんですね！
ありがとうございます🥰