Question

、

この問題の［ハ］［ヒ］の考え方がよくわからないので教えていただきたいです。

数学ⅡI・数学B
(3) 太郎さんと花子さんは C とlの共有点が2個となる場合について話している。
太郎:C3 上の点における接線を求めたり, C の概形を調べたりするのは大変
そうだね。
花子: C3 とlの共有点のx座標を調べるために,xの方程式
x 4 + 2x°-3x2+2x-1=m(x-1)+1
の実数解について考えてみようよ。
C3 と lはともに点Aを通ることから, (*) は
(x-1)(x+テ x-m+
②)
ト = 0
と変形できる。
ここで, xの方程式 x +
f(x)=x+1
テ
とおく。
f(1)=0 となるとき m=
ニヌであるから,m=
2
テ
x2-m+
1+3-m+2=0
ナ/
ナ
x2-m+
ト =0 の実数解を調べるために
ト
であり,このときの (*) の実数解はx=1,
のとき とlの共有点は2個である。
(数学ⅡⅠI・数学B 第2問は次ページに続く。)

である。
以下, m≠
関数f(x) の極大値は -m+
ネ
極小値は-m+
である。 曲
Yo
線 y=f(x) とx軸の共有点の個数に着目すると, C3 とlの共有点が2個であ
るような m の値の範囲は
m
ナ
と
する。
E
<m
数学ⅡI 数学B
9
●

よって, m=6のとき, C3 とlの共有点は2個である.
以下,m≠6 とする.
f(x)=x+3x²-m+2 より
f'(x)=3x2+6x=3x(x+2)
であるから, 関数 f(x) の増減は次のようになる.
より
x
f'(x)
+
f(x) 7
である.
-2
0
-m+6
m<
:
T
2
7
0
0
よって, 関数 f(x) の極大値は-m+ 6 極小値は
-m+ 2 である.
曲線 y=f(x)とx軸の共有点の個数は, 方程式 f(x)=0 の
異なる実数解の個数と一致する. また, m=6のとき, f(1) ≠ 0
であるから f(x)=0 は x=1 を解にもたない.
したがって, 曲線 y=f(x) とx軸が点 (1, 0) 以外で1回だけ
交わるとき, 方程式 f(x)=0は1でない実数解を一つだけも
ち, 方程式 (*)の異なる実数解は2個となるから, C3 とlの共有
点は2個となる.
曲線 y=f(x) とx軸が点 (1,0) 以外で1回だけ交わる条件
は
6
-m+2
m+2>0 または -m+6<0
46
<m
+
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f'(x) の符号の変化は, y=f'(x) の
グラフを描くとわかりやすい.
te
0
または
( 極小値) > 0 または (極大値) < 0.
y=f(x)
･2 0
y=f'(x)
x
y=f(x)
2 0
ま
x
→x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

たまご

1度こちらで確認させていただきました。
まずC3とlが共有点を2つ持つことは、＊を変形したテトの部分から
ⅰ)f(x)がx=1とx=1以外の解を2つもつ
ⅱ)またはf(x)がx=1以外の解を一つだけもつ
この2個の条件が挙げられます。
ⅰ)は既に議論されていて［ナ～ヌの部分］これを満たすのがm=6の時
でm≠6の話がネ以降で繰り広げられていることからⅱ)の考察となっています
ⅱ)は考えうるf(x)が2種類あって、それが図の2つですね。
このとき
図からx=-2のときにx軸と交点を持たない。かつx=1のときf(x)≠0 ［これを満たしちゃうと共有点が一つだけになる］
すなわちf(-2)<0 かつ m≠6
これよりm＞6
またx=0のときにx軸を交点に持たない場合も考えうるので、このときはx=1と交点を持たないから除外
すなわち(0)＞0
これよりm<2
とにかく極値以外のxに関してはなんでもいいので、f(x)が条件を満たすようなグラフを書くことが解法の糸口でしたね

、

丁寧にありがとうございます🙇
いただいた解答を元に考えていたのですが、曲線とx軸が(1,0)以外で一回だけ交わるときに、共有点が２つになるというのがよくわからないのですが、どういうことでしょうか💦

たまご

元々、共有点を2つ持つ条件は＊のもので
既に(x-1)f(x)=0と変形できることがわかっているのでx=1は必ず共有点を持つわけですね。
ここでもしf(x)が(1,0)以外で2つ交わった時(例えばx=4,8とか)
この時C3とlがx=1,4,8の3つの共有点を持つことになるので満たさない
前提としてx=1が共有点を持つためf(x)がx=1以外の解を1つ持つこ事が共有点を2つ持つことと同じであることになります

、

よくわかりました！😭
ありがとうございます！🙇